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## [3.1. Definizioni generali](./Sezione3_1.md)
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## 3.2. Metodologie di calcolo
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### 3.2.1. Rischio
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Nella forma semplice riportata alla sezione 3.1.1, l'equazione di Varnes non consente però il calcolo del rischio come valore atteso della perdita in relazione della possibilità di potere avere, nel tempo, eventi con diversa probabilità e quindi diversa intensità. Per considera l'intero spettro di eventi possibili, è necessario riscrivere la suddetta formula in termini di calcolo delle probabilità, ipotizzando che:
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- l'intensità dell'evento si caratterizzabile da un determinato parametro quantitiativo $h$ che ne rappresenta la magnitudo (e.g. il battente dell'allagamento);
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- esista una relazione univoca (tipicamente decrescente) fra magnitudo $h$ e pericolosità (o probabilità di superamento) $H$, quest'ultima esprimibile come inverso del Tempo di Ritorno $T_r$;
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- esista una relazione univoca (tipicamente crescente) fra vulnerabilità $V$ e magnitudo $h$, e quindi una relazione univoca (tipicamente decrescente) fra vulnerabilità $V$ e pericolosità $H$;
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Mettendo insieme queste ipotesi, si può quindi esprimere il rischio secondo la seguente formula generale del valore atteso di una variabile aleatoria:
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$$ R=\int_{0}^{1} E \cdot V \left( T_r \right) d\left( \frac{1}{T_r} \right) $$
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Tale formula teorica può essere tradotta in una più immediata espressione di calcolo partendo dalla stima dei valori di esposizione (in teoria indipendente dal tempo di ritorno) e loro vulnerabilità per un numero limitato di scenari di allagamento per assegnato tempo di ritorno (e.g. $T_r$ = 30, 200, 500 anni), come mostrato nella figura sottostante dove l'area al di sotto della curva danni-frequenza rappresenta il rischio atteso. Tale figura, presa da un caso reale, mostra chiaramente l'importanza di stimare il danno atteso $E×V$ anche per uno scenario di alluvione molto rara, come d'altronde esplicitamente richiesto dalla direttiva alluvioni 2007/60/CE ed il relativo D.Lgs attuativo 49/2010.
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In molti casi, la curva danno-frequenza è ben approssimabile da una legge esponenziale del tipo:
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$$ E×V = D_{max} \cdot e^{-k/T_r} $$
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il cui integrale fornisce:
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$$ R=\frac{D_{max}}{k} \left( 1 - e^{-k} \right) $$
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dove $D_{max}$ è il danno potenziale massimo (di solito inferiore al valore totale esposto $E$, a meno che non possa essere previsto che la vulnerabilità possa raggiungere il 100% per eventi veramente eccezionali) e $k$ è un parametro scala misurabile in anni. Partendo da un numero finito di valutazioni, i due parametri $D_{max}$ e $k$ possono essere stimati con il metodo dei minimi quadrati, semplicemente osservando che la suddetta approssimazione esponenziale per la legge danno-frequenza è lineare in scala semi-logaritmica:
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$$ln \left( EV \right) = ln \left( D_{max} \right) - \frac{k}{T_r}$$
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e quindi, date $N$ valutazioni $\left( EV_1, ... , EV_N \right)$ per altrettanti tempi di ritorno $\left( T_{R,1} ,..., T_{R,N} \right)$:
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$$k=- \frac{N \sum_{i=1}^N ln \left( E V_i \right) / T_{R,i} - \sum_{i=1}^N E V_i \sum_{i=1}^N 1 / T_{R,i}}{N \sum_{i=1}^N 1 / T_{R,i}^2 - \left( \sum_{i=1}^N 1 / T_{R,i} \right) ^2}$$
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$$ ln \left( D_{max} \right) = \frac{\sum_{i=1}^N ln \left( E V_i \right) +k \sum_{i=1}^N 1 / T_{R,i}}{N} $$
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Ad esempio, se $EV_{30} \, EV_{200} \, EV_{500}$ sono i danni attesi per i tempi di ritorno di 30, 200 e 500 anni, si ottiene:
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$$k= 19.14 \cdot ln \left( E V_{500} \right) +14.12 \cdot ln \left( E V_{200} \right) -33.27 \cdot ln \left( E V_{30} \right)$$
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$$D_{max}= \left( E V_{500} \right)^{0.07600} \cdot \left( E V_{200} \right)^{0.1434} \cdot \left( E V_{30} \right)^{0.7806}$$
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Si osserva poi che, per valori di $k$ superiori a qualche unità, $e^{-k} \ll 1$ e quindi in ottima approssimazione si ha semplicemente:
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$$ R \approx \frac{D_{max}}{k} $$
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Infine, si precisa che l'unità di misura del rischio $R$ dipende dall'unità di misura dell'esposto $E$, quest'ultima poi riportata all'unità temporale annuale: €$/anno$ per rischi relativi a elementi di valore monetizzabile, $n. / anno$ per il rischio per le persone, etc.
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### 3.2.2. Rischio residuo
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La metodologia di calcolo del rischio residuo dipenderà dalla tipologia dell'opera e del suo funzionamento ai fini della riduzione del rischio.
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Considerando come primo esempio la progettazione di un cassa d'espansione finalizzata alla riduzione del rischio a valle tramite una laminazione delle portate di piena, il rischio residuo può essere calcolato a partire dai medesimi scenari con probabilità $H$ utilizzati per la valutazione del rischio _ex_ante_, valutando però in nuovi valori (plausibilmente ridotti) del corrispondente danno $V×E$ a valle per portate di piena che risultano ridotte dalla laminazione effettuata dalla casa d'espansione.
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Considerando come secondo esempio la progettazione di un argine la cui altezza, con un certo franco, è stata dimensione su una certa portata (e.g. duecentennale), sono da considerarsi comunque non nulle le probabilità di collasso (si veda argomento specifico sul portale _Meno Rischio in Toscana_ a cura di E. Paris _et al._) non solo per eventi di magnitudo superiore a quella di progetto, ma anche per quelli di magnitudo inferiore. In questo caso gli scenari inizialmente considerati per la valutazione del rischio _ex ante_ possono variare sia in termini di probabilità sia in termini di danno corrispondente. Formalmente, si può scrivere nel caso dell'argine:
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$$ H_{N,res}=H_N \cdot \\mathbb{P}_{coll} \left( N \right)$$
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dove $H_{N,res}$ è la pericolosità residua per il tempo di ritorno $N$, e $\\mathbb{P}_{coll} \left( N \right)$ è la probabilità di collasso arginale per un evento con analogo tempo di ritorno. Si avrà anche poi, con notazione analoga:
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$$ V_{N,res} \lt V_N$$
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in quanto ci si aspetta che, anche in caso di collasso arginale, questo avvenga per un tratto limitato (si veda ancora Paris _et al._) e quindi la portata esondata risulterà comunque inferiore a quella che si avrebbe in assenza dell'intero argine.
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## [3.2. Metodologie di calcolo](./Sezione3_2.md)
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