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...@@ -42,50 +42,31 @@ I collegamenti creati secondo i criteri di aggregazione spaziale e temporale fan ...@@ -42,50 +42,31 @@ I collegamenti creati secondo i criteri di aggregazione spaziale e temporale fan
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## 2.3 Interpolazione e Definizione degli Attributi
### 2.3.1 Interpolazione dei Dati
I dati puntuali sono interpolati su un **raster multibanda** dalla risoluzione di **1 km**. La pioggia in ogni punto è calcolata come:
* **Media pesata** dei valori registrati dai pluviometri in quell'istante.
* I pesi sono **proporzionali all'inverso della quarta potenza della distanza** ($1/d^4$).
Ai punti da interpolare vengono aggiunti anche tutti i record delle stazioni vicine nell’istante temporale considerato, che possono essere solamente nulli oppure non registrati. Questo permette di ricostruire i confini del solido di pioggia.
### 2.3.2 Definizione dello Scroscio Principale (Main Rainfall Core)
Filtrando i pixel del raster in base ai valori di intensità è possibile isolare delle porzioni di evento di intensità maggiore.
Per localizzare l’area maggiormente impattata da ciascun evento è stato definito lo **Scroscio Principale** (*Main Rainfall Core*), ovvero:
> Il sub-evento di **volume maggiore** tra quelli costituiti esclusivamente da pixel con pioggia cumulata $p$ almeno pari a **4 mm in 15 minuti** (corrispondente a un'intensità di pioggia $i \ge 16 \text{ mm/h}$).
### 2.3.3 Scelta degli Attributi ### 2.3.3 Scelta degli Attributi
Per descrivere gli eventi sono stati definiti una serie di attributi ricavati dai raster interpolati o dalle misure pluviometriche: Per descrivere gli eventi sono stati definiti una serie di attributi ricavati dai raster interpolati o dalle misure pluviometriche:
* **$Vol_{P}$**: volume dello Scroscio Principale [mm$\cdot$km²], ovvero del più grande volume connesso (nello spazio e nel tempo) ottenuto rimuovendo tutti i pixel per i quali $p < 4 \text{ mm}$; * **Vol<sub>P</sub>**: volume dello Scroscio Principale [mm$\cdot$km²], ovvero del più grande volume connesso (nello spazio e nel tempo) ottenuto rimuovendo tutti i pixel per i quali $p < 4 \text{ mm}$;
* **$Vol_{4mm}, Vol_{3mm}, Vol_{2mm}, Vol_{1mm}, Vol_{0.1mm}$**: volume totale dell’evento [mm$\cdot$km²], trascurando tutti i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti non supera il valore espresso nel pedice; * **Vol<sub>4mm</sub>, Vol<sub>3mm</sub>, Vol<sub>2mm</sub>, Vol<sub>1mm</sub>, Vol<sub>0.1mm</sub>**: volume totale dell’evento [mm$\cdot$km²], trascurando tutti i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti non supera il valore espresso nel pedice;
* **$P_{1h}$**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 1 ora [mm]; * **P<sub>1h</sub>**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 1 ora [mm];
* **$P_{3h}$**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 3 ore [mm]; * **P<sub>3h</sub>**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 3 ore [mm];
* **$a_{VOL}$**: coefficiente dell’equazione $V = a \cdot S^b$, dove $V$ è il volume totale dell’evento se si considerano solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera il valore soglia $S$. I valori di $a$ e $b$ vengono ricavati tramite regressione; * **a<sub>VOL</sub>**: coefficiente dell’equazione $V = a \cdot S^b$, dove $V$ è il volume totale dell’evento se si considerano solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera il valore soglia $S$. I valori di $a$ e $b$ vengono ricavati tramite regressione;
* **$durata$**: tempo intercorso (in ore) tra l’inizio e la fine dell’evento. Data la risoluzione temporale delle misure, è sempre un multiplo di 15 minuti; * **durata**: tempo intercorso (in ore) tra l’inizio e la fine dell’evento. Data la risoluzione temporale delle misure, è sempre un multiplo di 15 minuti;
* **$Area_{Pmax}$**: massima estensione raggiunta dallo scroscio principale nel tempo [km²]; * **Area<sub>Pmax</sub>**: massima estensione raggiunta dallo scroscio principale nel tempo [km²];
* **$Area_{max\_2mm}$**: massima estensione [km²] raggiunta nel tempo dal sub evento ottenuto considerando solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera $2 \text{ mm}$; * **Area<sub>max\_2mm</sub>**: massima estensione [km²] raggiunta nel tempo dal sub evento ottenuto considerando solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera $2 \text{ mm}$;
* **$Area$**: estensione areale media dell’evento [km²], valutata considerato tutti i pixel per i quali $P \ge 0.1 \text{ mm}$; * **Area**: estensione areale media dell’evento [km²], valutata considerato tutti i pixel per i quali $P \ge 0.1 \text{ mm}$;
* **$P_{max}$**: massimo valore misurato di pioggia cumulata in 15 minuti [mm]; * **P<sub>max</sub>**: massimo valore misurato di pioggia cumulata in 15 minuti [mm];
* **$x_{Gp}, y_{Gp}$**: coordinate spaziali del baricentro dello scroscio principale (EPSG.3003). * **x<sub>Gp</sub>, y<sub>Gp</sub>**: coordinate spaziali del baricentro dello scroscio principale (EPSG.3003).
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...@@ -105,11 +86,11 @@ La modellazione è stata effettuata separatamente per due regioni: ...@@ -105,11 +86,11 @@ La modellazione è stata effettuata separatamente per due regioni:
La soglia che separa queste due regioni (corpo e coda) è stata determinata tramite un'analisi diagnostica **Peak Over Threshold (POT)** multi-criterio. La soglia che separa queste due regioni (corpo e coda) è stata determinata tramite un'analisi diagnostica **Peak Over Threshold (POT)** multi-criterio.
La soglia finale è stata selezionata bilanciando due esigenze contrapposte: La soglia finale è stata selezionata bilanciando due esigenze contrapposte:
1. Minimizzare il *bias* (utilizzando soglie sufficientemente alte). 1. Minimizzare il *bias* (utilizzando soglie sufficientemente alte).
2. Mantenere un numero sufficiente di eventi estremi per una stima robusta dei parametri GPD. 2. Mantenere un numero sufficiente di eventi estremi per una stima robusta dei parametri GPD.
I **criteri essenziali** utilizzati per la validazione della soglia e l'adeguatezza del *fit* GPD includono: I **criteri essenziali** utilizzati per la validazione della soglia e l'adeguatezza del *fit* GPD includono:
* La stabilità del parametro di forma $(\xi)$. * La stabilità del parametro di forma ($\xi$).
* La linearità della Mean Residual Life. * La linearità della Mean Residual Life.
* L'aderenza statistica valutata con test **KS** (Kolmogorov–Smirnov). * L'aderenza statistica valutata con test **KS** (Kolmogorov–Smirnov).
...@@ -117,7 +98,7 @@ Questo processo ha garantito che i parametri, stimati sui dati in eccesso, fosse ...@@ -117,7 +98,7 @@ Questo processo ha garantito che i parametri, stimati sui dati in eccesso, fosse
| Criterio | Metodo/Riferimento | Obiettivo | | Criterio | Metodo/Riferimento | Obiettivo |
| :--- | :--- | :--- | | :--- | :--- | :--- |
| **Stabilità del Parametro di Forma** | *Grafico della stabilità rispetto al valore soglia.* | Assicurare che il parametro di forma $(\xi)$ non sia influenzato da piccole variazioni della soglia. | | **Stabilità del Parametro di Forma** | *Grafico della stabilità rispetto al valore soglia.* | Assicurare che il parametro di forma ($\xi$) non sia influenzato da piccole variazioni della soglia. |
| **Linearità della MRL (Mean Residual Life)** | *Grafico della MRL.* | Verificare che la GPD sia un modello appropriato per i dati in eccesso. | | **Linearità della MRL (Mean Residual Life)** | *Grafico della MRL.* | Verificare che la GPD sia un modello appropriato per i dati in eccesso. |
| **Test KS** (Kolmogorov–Smirnov) | *Confronto tra Funzione di Ripartizione (CDF) empirica e teorica.* | Valutare l'aderenza statistica del fit GPD alla distribuzione dei dati estremi. | | **Test KS** (Kolmogorov–Smirnov) | *Confronto tra Funzione di Ripartizione (CDF) empirica e teorica.* | Valutare l'aderenza statistica del fit GPD alla distribuzione dei dati estremi. |
| **Test QQ (Quantile-Quantile)** | *Confronto tra quantili empirici e teorici.* | Analisi visiva per confermare l'adeguatezza del modello sui quantili estremi. | | **Test QQ (Quantile-Quantile)** | *Confronto tra quantili empirici e teorici.* | Analisi visiva per confermare l'adeguatezza del modello sui quantili estremi. |
...@@ -146,12 +127,12 @@ Si è quindi fatto ricorso alla **Vine Copula (R-Vine)**, un modello gerarchico ...@@ -146,12 +127,12 @@ Si è quindi fatto ricorso alla **Vine Copula (R-Vine)**, un modello gerarchico
### 2.5.1 Fasi del Processo di Modellazione ### 2.5.1 Fasi del Processo di Modellazione
1. **Trasformazione Spaziale Uniforme:** 1. **Trasformazione Spaziale Uniforme:**
* Il primo passo è la **trasformazione nello spazio uniforme [0, 1]** di ciascun attributo estremo. * Il primo passo è la **trasformazione nello spazio uniforme [0, 1]** di ciascun attributo estremo.
* Questa operazione viene effettuata utilizzando la rispettiva **distribuzione marginale**. * Questa operazione viene effettuata utilizzando la rispettiva **distribuzione marginale**.
* L'obiettivo è standardizzare i dati, consentendo alla Copula di modellare esclusivamente la **dipendenza di rango**. * L'obiettivo è standardizzare i dati, consentendo alla Copula di modellare esclusivamente la **dipendenza di rango**.
2. **Scomposizione Gerarchica (R-Vine):** 2. **Scomposizione Gerarchica (R-Vine):**
* La Vine Copula scompone la dipendenza tra $N$ attributi in una serie di **copule binarie** attraverso **$N-1$ alberi gerarchici** ($T_1, T_2, \dots, T_{N-1}$). * La Vine Copula scompone la dipendenza tra $N$ attributi in una serie di **copule binarie** attraverso **$N-1$ alberi gerarchici** ($T_1, T_2, \dots, T_{N-1}$).
### 2.5.2 Struttura degli Alberi ### 2.5.2 Struttura degli Alberi
...@@ -165,7 +146,7 @@ Questo approccio permette di ottimizzare la selezione della **famiglia di copula ...@@ -165,7 +146,7 @@ Questo approccio permette di ottimizzare la selezione della **famiglia di copula
## 2.6 Generazione della Popolazione Sintetica di Eventi Estremi ## 2.6 Generazione della Popolazione Sintetica di Eventi Estremi
Per ottenere un campione robusto che copra l'intera regione di interesse multivariata e consenta una stima stabile del **Tempo di Ritorno ($T_r$)**, è stata eseguita una simulazione **Monte Carlo** sulla struttura di dipendenza stimata. Per ottenere un campione robusto che copra l'intera regione di interesse multivariata e consenta una stima stabile del **Tempo di Ritorno (T<sub>r</sub>)**, è stata eseguita una simulazione **Monte Carlo** sulla struttura di dipendenza stimata.
Sono stati estratti **2 milioni di campioni** dalla Vine Copula precedentemente fittata. Il processo si articola in due fasi chiave: Sono stati estratti **2 milioni di campioni** dalla Vine Copula precedentemente fittata. Il processo si articola in due fasi chiave:
...@@ -177,11 +158,11 @@ Questa trasformazione inversa è condizionale: i valori $u$ che cadono **sotto l ...@@ -177,11 +158,11 @@ Questa trasformazione inversa è condizionale: i valori $u$ che cadono **sotto l
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## 2.7 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare $T_r$ ## 2.7 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare T<sub>r</sub>
L'obiettivo di questa fase è proiettare sia gli eventi osservati che quelli simulati nel **dominio dei Fattori**, in modo da definire una regione dello spazio multivariato su cui valutare la probabilità di superamento. L'obiettivo di questa fase è proiettare sia gli eventi osservati che quelli simulati nel **dominio dei Fattori**, in modo da definire una regione dello spazio multivariato su cui valutare la probabilità di superamento.
### 2.7.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi $W$ ### 2.7.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi W
La fase inizia con l'applicazione dell'**Analisi Fattoriale Esplorativa (EFA)** sulla Matrice degli Attributi **M** (eventi estremi originali). Per l'estrazione dei Fattori è stato impiegato il metodo di **Fattorizzazione Assiale Principale (Principal Axis Factoring - PAF)**, eseguito utilizzando la libreria *factor\_analyzer*. La fase inizia con l'applicazione dell'**Analisi Fattoriale Esplorativa (EFA)** sulla Matrice degli Attributi **M** (eventi estremi originali). Per l'estrazione dei Fattori è stato impiegato il metodo di **Fattorizzazione Assiale Principale (Principal Axis Factoring - PAF)**, eseguito utilizzando la libreria *factor\_analyzer*.
...@@ -192,21 +173,32 @@ La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettiv ...@@ -192,21 +173,32 @@ La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettiv
* **Massima Semplificazione:** La rotazione ridefinisce gli assi dei fattori 1 e 2 in modo che ogni variabile originale (attributo) tenda ad avere *loadings* (pesi) **elevati solo su un singolo fattore** e *loadings* prossimi a zero sugli altri. * **Massima Semplificazione:** La rotazione ridefinisce gli assi dei fattori 1 e 2 in modo che ogni variabile originale (attributo) tenda ad avere *loadings* (pesi) **elevati solo su un singolo fattore** e *loadings* prossimi a zero sugli altri.
* **Migliore Interpretabilità:** Questo processo crea una struttura dei fattori più pulita (**Simple Structure**), rendendo immediato capire quali attributi contribuiscono a definire in modo univoco un dato fattore (es. gli attributi di Intensità su Factor 1 e quelli di Estensione/Durata su Factor 2, come si evince dalla Tabella 1). * **Migliore Interpretabilità:** Questo processo crea una struttura dei fattori più pulita (**Simple Structure**), rendendo immediato capire quali attributi contribuiscono a definire in modo univoco un dato fattore (es. gli attributi di Intensità su Factor 1 e quelli di Estensione/Durata su Factor 2, come si evince dalla Tabella 1).
| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 | <table style="width:100%; border-collapse: collapse;">
| :--- | :--- | :--- | <thead>
| **$Vol_{P}$** | 0.899 | 0.180 | <tr>
| **$Vol_{1mm}$** | 0.418 | 0.885 | <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: left;">Attributo</th>
| **$Area$** | 0.038 | 0.820 | <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_1</th>
| **$durata$** | -0.265 | 0.690 | <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_2</th>
| **$Area_{Pmax}$** | 0.732 | 0.162 | </tr>
| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.571 | 0.501 | </thead>
| **$P_{1h}$** | 0.844 | -0.010 | <tbody>
| **$P_{3h}$** | 0.733 | 0.235 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>P</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.899</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.180</td></tr>
| **$a_{VOL}$** | 0.341 | 0.908 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>1mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.418</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.885</td></tr>
| **$P_{max}$** | 0.880 | -0.123 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.038</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.820</td></tr>
| *Tabella 1. Factor loadings* | | | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**durata**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.265</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.690</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>Pmax</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.732</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.162</td></tr>
Questo metodo calcola la **Matrice dei Pesi del Punteggio Fattoriale $W$** tramite un'analisi di regressione che fornisce la migliore stima lineare dei Fattori, utilizzando la struttura fattoriale ruotata. <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>max\_2mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.571</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.501</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>1h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.844</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.010</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>3h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.733</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.235</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**a<sub>VOL</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.341</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.908</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>max</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.880</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.123</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; font-style: italic;">Tabella 1. Factor loadings</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td></tr>
</tbody>
</table>
<br/>
Questo metodo calcola la **Matrice dei Pesi del Punteggio Fattoriale W** tramite un'analisi di regressione che fornisce la migliore stima lineare dei Fattori, utilizzando la struttura fattoriale ruotata.
La Matrice $W$ è definita dalla seguente equazione: La Matrice $W$ è definita dalla seguente equazione:
...@@ -220,51 +212,72 @@ Dove: ...@@ -220,51 +212,72 @@ Dove:
* $R$: è la **Matrice di Correlazione** tra le variabili originali standardizzate. * $R$: è la **Matrice di Correlazione** tra le variabili originali standardizzate.
* $U^2$: è la **Matrice Diagonale delle Unicità**. * $U^2$: è la **Matrice Diagonale delle Unicità**.
L'**Unicità** ($u_i^2$) di una variabile viene calcolata come la differenza tra la sua varianza totale, che in forma standardizzata vale $1$, e la sua **Comunalità** ($h_i^2$): L'**Unicità** ($u_{i}^{2}$) di una variabile viene calcolata come la differenza tra la sua varianza totale, che in forma standardizzata vale $1$, e la sua **Comunalità** ($h_{i}^{2}$):
$$ $$
u_i^2 = 1 - h_i^2 u_{i}^{2} = 1 - h_{i}^{2}
$$ $$
Dove $h_i^2$ è la somma dei quadrati dei *loadings* della variabile $i$ sui $k$ fattori: Dove $h_{i}^{2}$ è la somma dei quadrati dei *loadings* della variabile $i$ sui $k$ fattori:
$$ $$
h_i^2 = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^2 h_{i}^{2} = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^{2}
$$ $$
La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale. La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale.
La Matrice $W$ risultante, che proietta lo spazio delle 10 variabili nello spazio bidimensionale dei Fattori, è indicata in Tabella 2. La Matrice $W$ risultante, che proietta lo spazio delle 10 variabili nello spazio bidimensionale dei Fattori, è indicata in Tabella 2.
| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 | <table style="width:100%; border-collapse: collapse;">
| :--- | :--- | :--- | <thead>
| **$Vol_{P}$** | 0.229 | -0.027 | <tr>
| **$Vol_{1mm}$** | 0.026 | 0.273 | <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: left;">Attributo</th>
| **$Area$** | -0.072 | 0.288 | <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_1</th>
| **$durata$** | -0.143 | 0.272 | <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_2</th>
| **$Area_{Pmax}$** | 0.185 | -0.016 | </tr>
| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.107 | 0.121 | </thead>
| **$P_{1h}$** | 0.233 | -0.089 | <tbody>
| **$P_{3h}$** | 0.178 | 0.010 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>P</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.229</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.027</td></tr>
| **$a_{VOL}$** | 0.002 | 0.289 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>1mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.026</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.273</td></tr>
| **$P_{max}$** | 0.255 | -0.133 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.072</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.288</td></tr>
| *Tabella 2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali* | | | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**durata**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.143</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.272</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>Pmax</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.185</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.016</td></tr>
| Attributo | Unicità ($u_i^2$) | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>max\_2mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.107</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.121</td></tr>
| :--- | :--- | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>1h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.233</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.089</td></tr>
| **$Vol_{P}$** | 0.160 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>3h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.178</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.010</td></tr>
| **$Vol_{1mm}$** | 0.043 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**a<sub>VOL</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.002</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.289</td></tr>
| **$Area$** | 0.327 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>max</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.255</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.133</td></tr>
| **$durata$** | 0.453 | <tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; font-style: italic;">Tabella 2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td></tr>
| **$Area_{Pmax}$** | 0.438 | </tbody>
| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.423 | </table>
| **$P_{1h}$** | 0.288 |
| **$P_{3h}$** | 0.407 | <br/>
| **$a_{VOL}$** | 0.059 |
| **$P_{max}$** | 0.210 | <table style="width:100%; border-collapse: collapse;">
| *Tabella 3. Unicità* | | <thead>
<tr>
### 2.7.2 Calcolo degli Score Fattoriali $F$ e $F'$ <th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: left;">Attributo</th>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Unicità ($u_{i}^{2}$)</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>P</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.160</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>1mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.043</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.327</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**durata**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.453</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>Pmax</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.438</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>max\_2mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.423</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>1h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.288</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>3h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.407</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**a<sub>VOL</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.059</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>max</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.210</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; font-style: italic;">Tabella 3. Unicità</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td></tr>
</tbody>
</table>
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### 2.7.2 Calcolo degli Score Fattoriali F e F'
La stessa matrice dei pesi $W$ viene utilizzata sia sugli eventi originali ($\mathbf{M}$) che sulla popolazione simulata ($\mathbf{M'}$): La stessa matrice dei pesi $W$ viene utilizzata sia sugli eventi originali ($\mathbf{M}$) che sulla popolazione simulata ($\mathbf{M'}$):
...@@ -276,7 +289,7 @@ Questa proiezione nel piano bidimensionale dei Fattori ($\mathbf{F'}$) crea la r ...@@ -276,7 +289,7 @@ Questa proiezione nel piano bidimensionale dei Fattori ($\mathbf{F'}$) crea la r
Vista l’indipendenza dei fattori, la probabilità di superamento congiunta $p_{c}$ risulta essere pari al prodotto delle probabilità di superamento dei singoli fattori: $p_{c} = p(F_{1}) \cdot p(F_{2})$. Vista l’indipendenza dei fattori, la probabilità di superamento congiunta $p_{c}$ risulta essere pari al prodotto delle probabilità di superamento dei singoli fattori: $p_{c} = p(F_{1}) \cdot p(F_{2})$.
Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica. Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato T<sub>r</sub>** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica.
L'equazione utilizzata per convertire la probabilità di superamento congiunta e campionaria in Tempo di Ritorno è la seguente: L'equazione utilizzata per convertire la probabilità di superamento congiunta e campionaria in Tempo di Ritorno è la seguente:
...@@ -292,22 +305,22 @@ Dove: ...@@ -292,22 +305,22 @@ Dove:
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## 2.8 Analisi di Sensitività Spaziale del Tempo di Ritorno ($T_r$) ## 2.8 Analisi di Sensitività Spaziale del Tempo di Ritorno (T<sub>r</sub>)
Nei modelli idrologici tradizionali, il Tempo di Ritorno ($T_r$) viene stimato localmente, utilizzando la serie storica di un singolo pluviometro. Questo studio, basato su eventi areali descritti da attributi multivariati e campionati su un'intera regione geografica (la Toscana), estende il concetto di $T_r$ da puntuale a spaziale/multivariato. Nei modelli idrologici tradizionali, il Tempo di Ritorno (**T<sub>r</sub>**) viene stimato localmente, utilizzando la serie storica di un singolo pluviometro. Questo studio, basato su eventi areali descritti da attributi multivariati e campionati su un'intera regione geografica (la Toscana), estende il concetto di **T<sub>r</sub>** da puntuale a spaziale/multivariato.
Questo approccio solleva il **Problema del Campionamento Spaziale**: come è influenzato il valore (e il significato) del $T_r$ quando la popolazione di eventi estremi di riferimento viene definita su scale spaziali diverse? Questo approccio solleva il **Problema del Campionamento Spaziale**: come è influenzato il valore (e il significato) del **T<sub>r</sub>** quando la popolazione di eventi estremi di riferimento viene definita su scale spaziali diverse?
L'obiettivo di questa analisi di sensitività è quantificare questa influenza. Il $T_r$ di un evento estremo può infatti variare drasticamente a seconda che sia confrontato con la popolazione di eventi estremi di tutta la regione (un contesto globale) o solo con la popolazione estratta da un contesto locale (un'area ristretta attorno al suo baricentro). L'obiettivo di questa analisi di sensitività è quantificare questa influenza. Il **T<sub>r</sub>** di un evento estremo può infatti variare drasticamente a seconda che sia confrontato con la popolazione di eventi estremi di tutta la regione (un contesto globale) o solo con la popolazione estratta da un contesto locale (un'area ristretta attorno al suo baricentro).
### 2.8.1 Procedura di Analisi Spaziale Iterativa ### 2.8.1 Procedura di Analisi Spaziale Iterativa
Per un generico evento estremo osservato $\mathbf{e}$ con coordinate note del baricentro ($x_{Gp}, y_{Gp}$), il $T_r$ viene testato iterativamente su una serie crescente di **raggi spaziali $R$**. Per un generico evento estremo osservato $\mathbf{e}$ con coordinate note del baricentro (x<sub>Gp</sub>, y<sub>Gp</sub>), il **T<sub>r</sub>** viene testato iterativamente su una serie crescente di **raggi spaziali $R$**.
1. Si definisce una lista di raggi $R$ crescenti che fungono da proxy per la scala spaziale dell'analisi. 1. Si definisce una lista di raggi $R$ crescenti che fungono da proxy per la scala spaziale dell'analisi.
2. A ciascun elemento simulato in $\mathbf{M'}$ (i 2 milioni di eventi) viene associata una coordinata spaziale del baricentro in modo casuale all'interno dell'area di studio. 2. A ciascun elemento simulato in $\mathbf{M'}$ (i 2 milioni di eventi) viene associata una coordinata spaziale del baricentro in modo casuale all'interno dell'area di studio.
3. Per ogni raggio $R$, viene selezionato un $\mathbf{M''}$, sottoinsieme di $\mathbf{M'}$, composto solo dagli eventi simulati la cui distanza dal baricentro dell'evento di interesse $\mathbf{e}$ è minore di $R$ ($\text{dist}(\mathbf{e} - \mathbf{M''}) < R$). 3. Per ogni raggio $R$, viene selezionato un $\mathbf{M''}$, sottoinsieme di $\mathbf{M'}$, composto solo dagli eventi simulati la cui distanza dal baricentro dell'evento di interesse $\mathbf{e}$ è minore di $R$ ($\text{dist}(\mathbf{e} - \mathbf{M''}) < R$).
4. Gli score fattoriali per l'evento osservato $\mathbf{e}$ ($\mathbf{F}(\mathbf{e})$) sono calcolati utilizzando la matrice dei pesi $\mathbf{W}$ derivata da $\mathbf{M}$. Gli score simulati ($\mathbf{F''}$) sono calcolati applicando la stessa matrice $\mathbf{W}$ al sottocampione spaziale $\mathbf{M''}$. 4. Gli score fattoriali per l'evento osservato $\mathbf{e}$ ($\mathbf{F}(\mathbf{e})$) sono calcolati utilizzando la matrice dei pesi $W$ derivata da $\mathbf{M}$. Gli score simulati ($\mathbf{F''}$) sono calcolati applicando la stessa matrice $W$ al sottocampione spaziale $\mathbf{M''}$.
5. La probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ dell'evento $\mathbf{e}$ viene ricalcolata tramite confronto campionario (*rank-based*) tra $\mathbf{F}(\mathbf{e})$ e $\mathbf{F''}$. 5. La probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ dell'evento $\mathbf{e}$ viene ricalcolata tramite confronto campionario (*rank-based*) tra $\mathbf{F}(\mathbf{e})$ e $\mathbf{F''}$.
Il Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$ viene calcolato in funzione di $R$ utilizzando l'equazione: Il Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$ viene calcolato in funzione di $R$ utilizzando l'equazione:
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