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......@@ -42,50 +42,31 @@ I collegamenti creati secondo i criteri di aggregazione spaziale e temporale fan
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## 2.3 Interpolazione e Definizione degli Attributi
### 2.3.1 Interpolazione dei Dati
I dati puntuali sono interpolati su un **raster multibanda** dalla risoluzione di **1 km**. La pioggia in ogni punto è calcolata come:
* **Media pesata** dei valori registrati dai pluviometri in quell'istante.
* I pesi sono **proporzionali all'inverso della quarta potenza della distanza** ($1/d^4$).
Ai punti da interpolare vengono aggiunti anche tutti i record delle stazioni vicine nell’istante temporale considerato, che possono essere solamente nulli oppure non registrati. Questo permette di ricostruire i confini del solido di pioggia.
### 2.3.2 Definizione dello Scroscio Principale (Main Rainfall Core)
Filtrando i pixel del raster in base ai valori di intensità è possibile isolare delle porzioni di evento di intensità maggiore.
Per localizzare l’area maggiormente impattata da ciascun evento è stato definito lo **Scroscio Principale** (*Main Rainfall Core*), ovvero:
> Il sub-evento di **volume maggiore** tra quelli costituiti esclusivamente da pixel con pioggia cumulata $p$ almeno pari a **4 mm in 15 minuti** (corrispondente a un'intensità di pioggia $i \ge 16 \text{ mm/h}$).
### 2.3.3 Scelta degli Attributi
Per descrivere gli eventi sono stati definiti una serie di attributi ricavati dai raster interpolati o dalle misure pluviometriche:
* **$Vol_{P}$**: volume dello Scroscio Principale [mm$\cdot$km²], ovvero del più grande volume connesso (nello spazio e nel tempo) ottenuto rimuovendo tutti i pixel per i quali $p < 4 \text{ mm}$;
* **Vol<sub>P</sub>**: volume dello Scroscio Principale [mm$\cdot$km²], ovvero del più grande volume connesso (nello spazio e nel tempo) ottenuto rimuovendo tutti i pixel per i quali $p < 4 \text{ mm}$;
* **$Vol_{4mm}, Vol_{3mm}, Vol_{2mm}, Vol_{1mm}, Vol_{0.1mm}$**: volume totale dell’evento [mm$\cdot$km²], trascurando tutti i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti non supera il valore espresso nel pedice;
* **Vol<sub>4mm</sub>, Vol<sub>3mm</sub>, Vol<sub>2mm</sub>, Vol<sub>1mm</sub>, Vol<sub>0.1mm</sub>**: volume totale dell’evento [mm$\cdot$km²], trascurando tutti i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti non supera il valore espresso nel pedice;
* **$P_{1h}$**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 1 ora [mm];
* **P<sub>1h</sub>**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 1 ora [mm];
* **$P_{3h}$**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 3 ore [mm];
* **P<sub>3h</sub>**: massima pioggia cumulata in un punto del raster su una finestra mobile di 3 ore [mm];
* **$a_{VOL}$**: coefficiente dell’equazione $V = a \cdot S^b$, dove $V$ è il volume totale dell’evento se si considerano solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera il valore soglia $S$. I valori di $a$ e $b$ vengono ricavati tramite regressione;
* **a<sub>VOL</sub>**: coefficiente dell’equazione $V = a \cdot S^b$, dove $V$ è il volume totale dell’evento se si considerano solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera il valore soglia $S$. I valori di $a$ e $b$ vengono ricavati tramite regressione;
* **$durata$**: tempo intercorso (in ore) tra l’inizio e la fine dell’evento. Data la risoluzione temporale delle misure, è sempre un multiplo di 15 minuti;
* **durata**: tempo intercorso (in ore) tra l’inizio e la fine dell’evento. Data la risoluzione temporale delle misure, è sempre un multiplo di 15 minuti;
* **$Area_{Pmax}$**: massima estensione raggiunta dallo scroscio principale nel tempo [km²];
* **Area<sub>Pmax</sub>**: massima estensione raggiunta dallo scroscio principale nel tempo [km²];
* **$Area_{max\_2mm}$**: massima estensione [km²] raggiunta nel tempo dal sub evento ottenuto considerando solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera $2 \text{ mm}$;
* **Area<sub>max\_2mm</sub>**: massima estensione [km²] raggiunta nel tempo dal sub evento ottenuto considerando solo i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti supera $2 \text{ mm}$;
* **$Area$**: estensione areale media dell’evento [km²], valutata considerato tutti i pixel per i quali $P \ge 0.1 \text{ mm}$;
* **Area**: estensione areale media dell’evento [km²], valutata considerato tutti i pixel per i quali $P \ge 0.1 \text{ mm}$;
* **$P_{max}$**: massimo valore misurato di pioggia cumulata in 15 minuti [mm];
* **P<sub>max</sub>**: massimo valore misurato di pioggia cumulata in 15 minuti [mm];
* **$x_{Gp}, y_{Gp}$**: coordinate spaziali del baricentro dello scroscio principale (EPSG.3003).
* **x<sub>Gp</sub>, y<sub>Gp</sub>**: coordinate spaziali del baricentro dello scroscio principale (EPSG.3003).
---
......@@ -105,11 +86,11 @@ La modellazione è stata effettuata separatamente per due regioni:
La soglia che separa queste due regioni (corpo e coda) è stata determinata tramite un'analisi diagnostica **Peak Over Threshold (POT)** multi-criterio.
La soglia finale è stata selezionata bilanciando due esigenze contrapposte:
1. Minimizzare il *bias* (utilizzando soglie sufficientemente alte).
2. Mantenere un numero sufficiente di eventi estremi per una stima robusta dei parametri GPD.
1. Minimizzare il *bias* (utilizzando soglie sufficientemente alte).
2. Mantenere un numero sufficiente di eventi estremi per una stima robusta dei parametri GPD.
I **criteri essenziali** utilizzati per la validazione della soglia e l'adeguatezza del *fit* GPD includono:
* La stabilità del parametro di forma $(\xi)$.
* La stabilità del parametro di forma ($\xi$).
* La linearità della Mean Residual Life.
* L'aderenza statistica valutata con test **KS** (Kolmogorov–Smirnov).
......@@ -117,7 +98,7 @@ Questo processo ha garantito che i parametri, stimati sui dati in eccesso, fosse
| Criterio | Metodo/Riferimento | Obiettivo |
| :--- | :--- | :--- |
| **Stabilità del Parametro di Forma** | *Grafico della stabilità rispetto al valore soglia.* | Assicurare che il parametro di forma $(\xi)$ non sia influenzato da piccole variazioni della soglia. |
| **Stabilità del Parametro di Forma** | *Grafico della stabilità rispetto al valore soglia.* | Assicurare che il parametro di forma ($\xi$) non sia influenzato da piccole variazioni della soglia. |
| **Linearità della MRL (Mean Residual Life)** | *Grafico della MRL.* | Verificare che la GPD sia un modello appropriato per i dati in eccesso. |
| **Test KS** (Kolmogorov–Smirnov) | *Confronto tra Funzione di Ripartizione (CDF) empirica e teorica.* | Valutare l'aderenza statistica del fit GPD alla distribuzione dei dati estremi. |
| **Test QQ (Quantile-Quantile)** | *Confronto tra quantili empirici e teorici.* | Analisi visiva per confermare l'adeguatezza del modello sui quantili estremi. |
......@@ -146,12 +127,12 @@ Si è quindi fatto ricorso alla **Vine Copula (R-Vine)**, un modello gerarchico
### 2.5.1 Fasi del Processo di Modellazione
1. **Trasformazione Spaziale Uniforme:**
1. **Trasformazione Spaziale Uniforme:**
* Il primo passo è la **trasformazione nello spazio uniforme [0, 1]** di ciascun attributo estremo.
* Questa operazione viene effettuata utilizzando la rispettiva **distribuzione marginale**.
* L'obiettivo è standardizzare i dati, consentendo alla Copula di modellare esclusivamente la **dipendenza di rango**.
2. **Scomposizione Gerarchica (R-Vine):**
2. **Scomposizione Gerarchica (R-Vine):**
* La Vine Copula scompone la dipendenza tra $N$ attributi in una serie di **copule binarie** attraverso **$N-1$ alberi gerarchici** ($T_1, T_2, \dots, T_{N-1}$).
### 2.5.2 Struttura degli Alberi
......@@ -165,7 +146,7 @@ Questo approccio permette di ottimizzare la selezione della **famiglia di copula
## 2.6 Generazione della Popolazione Sintetica di Eventi Estremi
Per ottenere un campione robusto che copra l'intera regione di interesse multivariata e consenta una stima stabile del **Tempo di Ritorno ($T_r$)**, è stata eseguita una simulazione **Monte Carlo** sulla struttura di dipendenza stimata.
Per ottenere un campione robusto che copra l'intera regione di interesse multivariata e consenta una stima stabile del **Tempo di Ritorno (T<sub>r</sub>)**, è stata eseguita una simulazione **Monte Carlo** sulla struttura di dipendenza stimata.
Sono stati estratti **2 milioni di campioni** dalla Vine Copula precedentemente fittata. Il processo si articola in due fasi chiave:
......@@ -177,11 +158,11 @@ Questa trasformazione inversa è condizionale: i valori $u$ che cadono **sotto l
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## 2.7 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare $T_r$
## 2.7 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare T<sub>r</sub>
L'obiettivo di questa fase è proiettare sia gli eventi osservati che quelli simulati nel **dominio dei Fattori**, in modo da definire una regione dello spazio multivariato su cui valutare la probabilità di superamento.
### 2.7.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi $W$
### 2.7.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi W
La fase inizia con l'applicazione dell'**Analisi Fattoriale Esplorativa (EFA)** sulla Matrice degli Attributi **M** (eventi estremi originali). Per l'estrazione dei Fattori è stato impiegato il metodo di **Fattorizzazione Assiale Principale (Principal Axis Factoring - PAF)**, eseguito utilizzando la libreria *factor\_analyzer*.
......@@ -192,21 +173,32 @@ La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettiv
* **Massima Semplificazione:** La rotazione ridefinisce gli assi dei fattori 1 e 2 in modo che ogni variabile originale (attributo) tenda ad avere *loadings* (pesi) **elevati solo su un singolo fattore** e *loadings* prossimi a zero sugli altri.
* **Migliore Interpretabilità:** Questo processo crea una struttura dei fattori più pulita (**Simple Structure**), rendendo immediato capire quali attributi contribuiscono a definire in modo univoco un dato fattore (es. gli attributi di Intensità su Factor 1 e quelli di Estensione/Durata su Factor 2, come si evince dalla Tabella 1).
| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
| :--- | :--- | :--- |
| **$Vol_{P}$** | 0.899 | 0.180 |
| **$Vol_{1mm}$** | 0.418 | 0.885 |
| **$Area$** | 0.038 | 0.820 |
| **$durata$** | -0.265 | 0.690 |
| **$Area_{Pmax}$** | 0.732 | 0.162 |
| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.571 | 0.501 |
| **$P_{1h}$** | 0.844 | -0.010 |
| **$P_{3h}$** | 0.733 | 0.235 |
| **$a_{VOL}$** | 0.341 | 0.908 |
| **$P_{max}$** | 0.880 | -0.123 |
| *Tabella 1. Factor loadings* | | |
Questo metodo calcola la **Matrice dei Pesi del Punteggio Fattoriale $W$** tramite un'analisi di regressione che fornisce la migliore stima lineare dei Fattori, utilizzando la struttura fattoriale ruotata.
<table style="width:100%; border-collapse: collapse;">
<thead>
<tr>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: left;">Attributo</th>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_1</th>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_2</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>P</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.899</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.180</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>1mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.418</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.885</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.038</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.820</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**durata**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.265</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.690</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>Pmax</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.732</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.162</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>max\_2mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.571</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.501</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>1h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.844</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.010</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>3h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.733</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.235</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**a<sub>VOL</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.341</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.908</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>max</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.880</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.123</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; font-style: italic;">Tabella 1. Factor loadings</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td></tr>
</tbody>
</table>
<br/>
Questo metodo calcola la **Matrice dei Pesi del Punteggio Fattoriale W** tramite un'analisi di regressione che fornisce la migliore stima lineare dei Fattori, utilizzando la struttura fattoriale ruotata.
La Matrice $W$ è definita dalla seguente equazione:
......@@ -220,51 +212,72 @@ Dove:
* $R$: è la **Matrice di Correlazione** tra le variabili originali standardizzate.
* $U^2$: è la **Matrice Diagonale delle Unicità**.
L'**Unicità** ($u_i^2$) di una variabile viene calcolata come la differenza tra la sua varianza totale, che in forma standardizzata vale $1$, e la sua **Comunalità** ($h_i^2$):
L'**Unicità** ($u_{i}^{2}$) di una variabile viene calcolata come la differenza tra la sua varianza totale, che in forma standardizzata vale $1$, e la sua **Comunalità** ($h_{i}^{2}$):
$$
u_i^2 = 1 - h_i^2
u_{i}^{2} = 1 - h_{i}^{2}
$$
Dove $h_i^2$ è la somma dei quadrati dei *loadings* della variabile $i$ sui $k$ fattori:
Dove $h_{i}^{2}$ è la somma dei quadrati dei *loadings* della variabile $i$ sui $k$ fattori:
$$
h_i^2 = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^2
h_{i}^{2} = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^{2}
$$
La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale.
La Matrice $W$ risultante, che proietta lo spazio delle 10 variabili nello spazio bidimensionale dei Fattori, è indicata in Tabella 2.
| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
| :--- | :--- | :--- |
| **$Vol_{P}$** | 0.229 | -0.027 |
| **$Vol_{1mm}$** | 0.026 | 0.273 |
| **$Area$** | -0.072 | 0.288 |
| **$durata$** | -0.143 | 0.272 |
| **$Area_{Pmax}$** | 0.185 | -0.016 |
| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.107 | 0.121 |
| **$P_{1h}$** | 0.233 | -0.089 |
| **$P_{3h}$** | 0.178 | 0.010 |
| **$a_{VOL}$** | 0.002 | 0.289 |
| **$P_{max}$** | 0.255 | -0.133 |
| *Tabella 2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali* | | |
| Attributo | Unicità ($u_i^2$) |
| :--- | :--- |
| **$Vol_{P}$** | 0.160 |
| **$Vol_{1mm}$** | 0.043 |
| **$Area$** | 0.327 |
| **$durata$** | 0.453 |
| **$Area_{Pmax}$** | 0.438 |
| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.423 |
| **$P_{1h}$** | 0.288 |
| **$P_{3h}$** | 0.407 |
| **$a_{VOL}$** | 0.059 |
| **$P_{max}$** | 0.210 |
| *Tabella 3. Unicità* | |
### 2.7.2 Calcolo degli Score Fattoriali $F$ e $F'$
<table style="width:100%; border-collapse: collapse;">
<thead>
<tr>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: left;">Attributo</th>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_1</th>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Factor\_2</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>P</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.229</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.027</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>1mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.026</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.273</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.072</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.288</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**durata**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.143</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.272</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>Pmax</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.185</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.016</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>max\_2mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.107</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.121</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>1h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.233</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.089</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>3h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.178</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.010</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**a<sub>VOL</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.002</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.289</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>max</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.255</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">-0.133</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; font-style: italic;">Tabella 2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td></tr>
</tbody>
</table>
<br/>
<table style="width:100%; border-collapse: collapse;">
<thead>
<tr>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: left;">Attributo</th>
<th style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">Unicità ($u_{i}^{2}$)</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>P</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.160</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Vol<sub>1mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.043</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.327</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**durata**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.453</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>Pmax</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.438</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**Area<sub>max\_2mm</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.423</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>1h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.288</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>3h</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.407</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**a<sub>VOL</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.059</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;">**P<sub>max</sub>**</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; text-align: center;">0.210</td></tr>
<tr><td style="border: 1px solid black; padding: 5px; font-style: italic;">Tabella 3. Unicità</td><td style="border: 1px solid black; padding: 5px;"></td></tr>
</tbody>
</table>
<br/>
### 2.7.2 Calcolo degli Score Fattoriali F e F'
La stessa matrice dei pesi $W$ viene utilizzata sia sugli eventi originali ($\mathbf{M}$) che sulla popolazione simulata ($\mathbf{M'}$):
......@@ -276,7 +289,7 @@ Questa proiezione nel piano bidimensionale dei Fattori ($\mathbf{F'}$) crea la r
Vista l’indipendenza dei fattori, la probabilità di superamento congiunta $p_{c}$ risulta essere pari al prodotto delle probabilità di superamento dei singoli fattori: $p_{c} = p(F_{1}) \cdot p(F_{2})$.
Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica.
Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato T<sub>r</sub>** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica.
L'equazione utilizzata per convertire la probabilità di superamento congiunta e campionaria in Tempo di Ritorno è la seguente:
......@@ -292,22 +305,22 @@ Dove:
---
## 2.8 Analisi di Sensitività Spaziale del Tempo di Ritorno ($T_r$)
## 2.8 Analisi di Sensitività Spaziale del Tempo di Ritorno (T<sub>r</sub>)
Nei modelli idrologici tradizionali, il Tempo di Ritorno ($T_r$) viene stimato localmente, utilizzando la serie storica di un singolo pluviometro. Questo studio, basato su eventi areali descritti da attributi multivariati e campionati su un'intera regione geografica (la Toscana), estende il concetto di $T_r$ da puntuale a spaziale/multivariato.
Nei modelli idrologici tradizionali, il Tempo di Ritorno (**T<sub>r</sub>**) viene stimato localmente, utilizzando la serie storica di un singolo pluviometro. Questo studio, basato su eventi areali descritti da attributi multivariati e campionati su un'intera regione geografica (la Toscana), estende il concetto di **T<sub>r</sub>** da puntuale a spaziale/multivariato.
Questo approccio solleva il **Problema del Campionamento Spaziale**: come è influenzato il valore (e il significato) del $T_r$ quando la popolazione di eventi estremi di riferimento viene definita su scale spaziali diverse?
Questo approccio solleva il **Problema del Campionamento Spaziale**: come è influenzato il valore (e il significato) del **T<sub>r</sub>** quando la popolazione di eventi estremi di riferimento viene definita su scale spaziali diverse?
L'obiettivo di questa analisi di sensitività è quantificare questa influenza. Il $T_r$ di un evento estremo può infatti variare drasticamente a seconda che sia confrontato con la popolazione di eventi estremi di tutta la regione (un contesto globale) o solo con la popolazione estratta da un contesto locale (un'area ristretta attorno al suo baricentro).
L'obiettivo di questa analisi di sensitività è quantificare questa influenza. Il **T<sub>r</sub>** di un evento estremo può infatti variare drasticamente a seconda che sia confrontato con la popolazione di eventi estremi di tutta la regione (un contesto globale) o solo con la popolazione estratta da un contesto locale (un'area ristretta attorno al suo baricentro).
### 2.8.1 Procedura di Analisi Spaziale Iterativa
Per un generico evento estremo osservato $\mathbf{e}$ con coordinate note del baricentro ($x_{Gp}, y_{Gp}$), il $T_r$ viene testato iterativamente su una serie crescente di **raggi spaziali $R$**.
Per un generico evento estremo osservato $\mathbf{e}$ con coordinate note del baricentro (x<sub>Gp</sub>, y<sub>Gp</sub>), il **T<sub>r</sub>** viene testato iterativamente su una serie crescente di **raggi spaziali $R$**.
1. Si definisce una lista di raggi $R$ crescenti che fungono da proxy per la scala spaziale dell'analisi.
2. A ciascun elemento simulato in $\mathbf{M'}$ (i 2 milioni di eventi) viene associata una coordinata spaziale del baricentro in modo casuale all'interno dell'area di studio.
3. Per ogni raggio $R$, viene selezionato un $\mathbf{M''}$, sottoinsieme di $\mathbf{M'}$, composto solo dagli eventi simulati la cui distanza dal baricentro dell'evento di interesse $\mathbf{e}$ è minore di $R$ ($\text{dist}(\mathbf{e} - \mathbf{M''}) < R$).
4. Gli score fattoriali per l'evento osservato $\mathbf{e}$ ($\mathbf{F}(\mathbf{e})$) sono calcolati utilizzando la matrice dei pesi $\mathbf{W}$ derivata da $\mathbf{M}$. Gli score simulati ($\mathbf{F''}$) sono calcolati applicando la stessa matrice $\mathbf{W}$ al sottocampione spaziale $\mathbf{M''}$.
4. Gli score fattoriali per l'evento osservato $\mathbf{e}$ ($\mathbf{F}(\mathbf{e})$) sono calcolati utilizzando la matrice dei pesi $W$ derivata da $\mathbf{M}$. Gli score simulati ($\mathbf{F''}$) sono calcolati applicando la stessa matrice $W$ al sottocampione spaziale $\mathbf{M''}$.
5. La probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ dell'evento $\mathbf{e}$ viene ricalcolata tramite confronto campionario (*rank-based*) tra $\mathbf{F}(\mathbf{e})$ e $\mathbf{F''}$.
Il Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$ viene calcolato in funzione di $R$ utilizzando l'equazione:
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