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@@ -65,7 +65,7 @@ Per localizzare l’area maggiormente impattata da ciascun evento è stato defin
 
 Per descrivere gli eventi sono stati definiti una serie di attributi ricavati dai raster interpolati o dalle misure pluviometriche:
 
-* **$Vol_P$**: volume dello Scroscio Principale [mm$\cdot$km²], ovvero del più grande volume connesso (nello spazio e nel tempo) ottenuto rimuovendo tutti i pixel per i quali $p < 4 \text{ mm}$;
+* **$Vol_{P}$**: volume dello Scroscio Principale [mm$\cdot$km²], ovvero del più grande volume connesso (nello spazio e nel tempo) ottenuto rimuovendo tutti i pixel per i quali $p < 4 \text{ mm}$;
 
 * **$Vol_{4mm}, Vol_{3mm}, Vol_{2mm}, Vol_{1mm}, Vol_{0.1mm}$**: volume totale dell’evento [mm$\cdot$km²], trascurando tutti i pixel per i quali la pioggia cumulata in 15 minuti non supera il valore espresso nel pedice;
 
@@ -194,7 +194,7 @@ La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettiv
 
 | Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
 | :--- | :--- | :--- |
-| **$Vol_P$** | 0.899 | 0.180 |
+| **$Vol_{P}$** | 0.899 | 0.180 |
 | **$Vol_{1mm}$** | 0.418 | 0.885 |
 | **$Area$** | 0.038 | 0.820 |
 | **$durata$** | -0.265 | 0.690 |
@@ -202,7 +202,7 @@ La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettiv
 | **$Area_{max\_2mm}$** | 0.571 | 0.501 |
 | **$P_{1h}$** | 0.844 | -0.010 |
 | **$P_{3h}$** | 0.733 | 0.235 |
-| **$a_{vol}$** | 0.341 | 0.908 |
+| **$a_{VOL}$** | 0.341 | 0.908 |
 | **$P_{max}$** | 0.880 | -0.123 |
 | *Tabella 1. Factor loadings* | | |
 
@@ -232,4 +232,90 @@ $$
 h_i^2 = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^2
 $$
 
-La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale.
+La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale.
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+
+La Matrice $W$ risultante, che proietta lo spazio delle 10 variabili nello spazio bidimensionale dei Fattori, è indicata in Tabella 2.
+
+| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| **$Vol_{P}$** | 0.229 | -0.027 |
+| **$Vol_{1mm}$** | 0.026 | 0.273 |
+| **$Area$** | -0.072 | 0.288 |
+| **$durata$** | -0.143 | 0.272 |
+| **$Area_{Pmax}$** | 0.185 | -0.016 |
+| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.107 | 0.121 |
+| **$P_{1h}$** | 0.233 | -0.089 |
+| **$P_{3h}$** | 0.178 | 0.010 |
+| **$a_{VOL}$** | 0.002 | 0.289 |
+| **$P_{max}$** | 0.255 | -0.133 |
+| *Tabella 2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali* | | |
+
+| Attributo | Unicità ($u_i^2$) |
+| :--- | :--- |
+| **$Vol_{P}$** | 0.160 |
+| **$Vol_{1mm}$** | 0.043 |
+| **$Area$** | 0.327 |
+| **$durata$** | 0.453 |
+| **$Area_{Pmax}$** | 0.438 |
+| **$Area_{max\_2mm}$** | 0.423 |
+| **$P_{1h}$** | 0.288 |
+| **$P_{3h}$** | 0.407 |
+| **$a_{VOL}$** | 0.059 |
+| **$P_{max}$** | 0.210 |
+| *Tabella 3. Unicità* | |
+
+### 2.7.2 Calcolo degli Score Fattoriali $F$ e $F'$
+
+La stessa matrice dei pesi $W$ viene utilizzata sia sugli eventi originali ($\mathbf{M}$) che sulla popolazione simulata ($\mathbf{M'}$):
+
+$$
+\mathbf{F} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{W} \quad \text{e} \quad \mathbf{F'} = \mathbf{M'} \cdot \mathbf{W}
+$$
+
+Questa proiezione nel piano bidimensionale dei Fattori ($\mathbf{F'}$) crea la regione di eventi estremi simulata in uno spazio di due variabili indipendenti. Questo rende possibile calcolare, per ciascun evento originale (con score $\mathbf{F}$), la **probabilità di superamento $p$** dei due fattori tramite confronto campionario (*rank-based*) con la popolazione simulata $\mathbf{F'}$.
+
+Vista l’indipendenza dei fattori, la probabilità di superamento congiunta $p_{c}$ risulta essere pari al prodotto delle probabilità di superamento dei singoli fattori: $p_{c} = p(F_{1}) \cdot p(F_{2})$.
+
+Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica.
+
+L'equazione utilizzata per convertire la probabilità di superamento congiunta e campionaria in Tempo di Ritorno è la seguente:
+
+$$
+T_r(\mathbf{F}) = \frac{1}{\lambda_{ext} \cdot p(\mathbf{F})}
+$$
+
+Dove:
+
+* $T_r(\mathbf{F})$: è il Tempo di Ritorno in anni per l'evento caratterizzato dai punteggi fattoriali $\mathbf{F}$.
+* $\lambda_{ext}$: è il **Tasso Medio Annuale di Occorrenza degli Eventi Estremi**, calcolato come il numero totale di eventi estremi osservati nella matrice $\mathbf{M}$ diviso per il numero totale di anni di osservazione nella serie storica. Questo valore è la probabilità marginale di osservare almeno un evento estremo in un anno.
+* $p(\mathbf{F})$: è la **Probabilità di Superamento Congiunto** dell'evento, stimata tramite il confronto campionario (*rank-based*) degli Score $\mathbf{F}$ con la popolazione sintetica $\mathbf{F'}$.
+
+---
+
+## 2.8 Analisi di Sensitività Spaziale del Tempo di Ritorno ($T_r$)
+
+Nei modelli idrologici tradizionali, il Tempo di Ritorno ($T_r$) viene stimato localmente, utilizzando la serie storica di un singolo pluviometro. Questo studio, basato su eventi areali descritti da attributi multivariati e campionati su un'intera regione geografica (la Toscana), estende il concetto di $T_r$ da puntuale a spaziale/multivariato.
+
+Questo approccio solleva il **Problema del Campionamento Spaziale**: come è influenzato il valore (e il significato) del $T_r$ quando la popolazione di eventi estremi di riferimento viene definita su scale spaziali diverse?
+
+L'obiettivo di questa analisi di sensitività è quantificare questa influenza. Il $T_r$ di un evento estremo può infatti variare drasticamente a seconda che sia confrontato con la popolazione di eventi estremi di tutta la regione (un contesto globale) o solo con la popolazione estratta da un contesto locale (un'area ristretta attorno al suo baricentro).
+
+### 2.8.1 Procedura di Analisi Spaziale Iterativa
+
+Per un generico evento estremo osservato $\mathbf{e}$ con coordinate note del baricentro ($x_{Gp}, y_{Gp}$), il $T_r$ viene testato iterativamente su una serie crescente di **raggi spaziali $R$**.
+
+1.  Si definisce una lista di raggi $R$ crescenti che fungono da proxy per la scala spaziale dell'analisi.
+2.  A ciascun elemento simulato in $\mathbf{M'}$ (i 2 milioni di eventi) viene associata una coordinata spaziale del baricentro in modo casuale all'interno dell'area di studio.
+3.  Per ogni raggio $R$, viene selezionato un $\mathbf{M''}$, sottoinsieme di $\mathbf{M'}$, composto solo dagli eventi simulati la cui distanza dal baricentro dell'evento di interesse $\mathbf{e}$ è minore di $R$ ($\text{dist}(\mathbf{e} - \mathbf{M''}) < R$).
+4.  Gli score fattoriali per l'evento osservato $\mathbf{e}$ ($\mathbf{F}(\mathbf{e})$) sono calcolati utilizzando la matrice dei pesi $\mathbf{W}$ derivata da $\mathbf{M}$. Gli score simulati ($\mathbf{F''}$) sono calcolati applicando la stessa matrice $\mathbf{W}$ al sottocampione spaziale $\mathbf{M''}$.
+5.  La probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ dell'evento $\mathbf{e}$ viene ricalcolata tramite confronto campionario (*rank-based*) tra $\mathbf{F}(\mathbf{e})$ e $\mathbf{F''}$.
+
+Il Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$ viene calcolato in funzione di $R$ utilizzando l'equazione:
+
+$$
+T_r(\mathbf{F}, R) = \frac{1}{\lambda_{ext}(R) \cdot p(\mathbf{F})}
+$$
+
+Dove $\lambda_{ext}(R)$ è il **Tasso Medio Annuale di Occorrenza degli Eventi Estremi** stimato entro il raggio $R$.
+
+Questa procedura viene iterata su ciascun evento estremo $\mathbf{e}$ in $\mathbf{M}$ per diversi valori del raggio $R$. Le figure 2 e 3 mostrano l'andamento del $T_r$ in funzione della scala spaziale dell’analisi per due eventi distinti della Toscana.
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