| ... | ... | @@ -158,4 +158,34 @@ Si è quindi fatto ricorso alla **Vine Copula (R-Vine)**, un modello gerarchico |
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* **Albero Iniziale ($T_1$):** Le copule binarie sono modellate direttamente tra le **coppie di variabili trasformate**.
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* **Alberi Successivi:** I nodi rappresentano le densità di copula **condizionate** stimate nel livello precedente. Gli archi modellano la **dipendenza residua** condizionata da un sottoinsieme di altre variabili.
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Questo approccio permette di ottimizzare la selezione della **famiglia di copula** (es. Gumbel, Clayton, Gaussiana, t) più appropriata per ogni specifica coppia di variabili condizionate/incondizionate. L'uso di copule **asimmetriche** (come Gumbel e Clayton) è utile in questo contesto, poiché permette di catturare la **dipendenza di coda** tra le variabili. |
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Questo approccio permette di ottimizzare la selezione della **famiglia di copula** (es. Gumbel, Clayton, Gaussiana, t) più appropriata per ogni specifica coppia di variabili condizionate/incondizionate. L'uso di copule **asimmetriche** (come Gumbel e Clayton) è utile in questo contesto, poiché permette di catturare la **dipendenza di coda** tra le variabili.
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## 2.6 Generazione della Popolazione Sintetica di Eventi Estremi
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Per ottenere un campione robusto che copra l'intera regione di interesse multivariata e consenta una stima stabile del **Tempo di Ritorno ($T_r$)**, è stata eseguita una simulazione **Monte Carlo** sulla struttura di dipendenza stimata.
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Sono stati estratti **2 milioni di campioni** dalla Vine Copula precedentemente fittata. Il processo si articola in due fasi chiave:
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* **1. Estrazione dallo Spazio Uniforme:** La Vine Copula, che opera nello spazio uniforme $[0, 1]$, viene campionata per generare una matrice di valori $(u_1, u_2, \dots, u_i)$. Questa matrice codifica la probabilità congiunta delle variabili, rispettando la complessa **struttura di dipendenza di coda**.
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* **2. Trasformazione Inversa (Matrice M'):** I campioni uniformi vengono quindi trasformati nello spazio fisico originale (la **Matrice M'**, che rappresenta gli attributi simulati) attraverso la **Funzione di Distribuzione Cumulativa Inversa** di ciascuna distribuzione marginale ibrida (ECDF + GPD).
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Questa trasformazione inversa è condizionale: i valori $u$ che cadono **sotto la soglia** vengono riportati nello spazio fisico utilizzando il corrispondente quantile dell'**ECDF**, mentre quelli **estremi** vengono trasformati utilizzando il corrispondente quantile della **GPD**. Il risultato è la Matrice M', una popolazione sintetica di 2 milioni di eventi che replica fedelmente sia le distribuzioni individuali degli attributi che la loro interdipendenza multivariata, estendendosi oltre la dimensione del campione osservato, e permettendo di stimare il Tempo di Ritorno basandosi su un lungo periodo virtuale di osservazione.
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## 2.7 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare $T_r$
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L'obiettivo di questa fase è proiettare sia gli eventi osservati che quelli simulati nel **dominio dei Fattori**, in modo che la probabilità di superamento multivariata possa essere calcolata in modo stabile.
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### 2.7.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi $W$
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La fase inizia con l'applicazione dell'**Analisi Fattoriale Esplorativa (EFA)** sulla Matrice degli Attributi **M** (eventi estremi originali). Per l'estrazione dei Fattori è stato impiegato il metodo di **Fattorizzazione Assiale Principale (Principal Axis Factoring - PAF)**, eseguito utilizzando la libreria *factor\_analyzer*.
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Dopo l'estrazione iniziale dei Fattori tramite il metodo PAF, che assicura che i fattori siano ortogonali tra loro, è stata applicata la **Rotazione Varimax** per ottimizzare la struttura fattoriale e facilitarne l'interpretazione.
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La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettivo la massimizzazione della varianza dei *factor loadings* al quadrato per ciascun fattore. Poiché è una rotazione ortogonale, mantiene l'indipendenza lineare tra i fattori. Il suo ruolo primario è:
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* **Massima Semplificazione:** La rotazione ridefinisce gli assi dei fattori 1 e 2 in modo che ogni variabile originale (attributo) tenda ad avere *loadings* (pesi) **elevati solo su un singolo fattore** e *loadings* prossimi a zero sugli altri.
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* **Migliore Interpretabilità:** Questo processo crea una struttura dei fattori più pulita (**Simple Structure**), rendendo immediato capire quali attributi contribuiscono a definire in modo univoco un dato fattore (es. gli attributi di Intensità su Factor 1 e quelli di Estensione/Durata su Factor 2, come si evince dalla Tabella 1). |
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