Mario Di Bacco · 088e8aba
--- a/guida/Sezione2.md.md
+++ b/guida/Sezione2.md.md
@@ -102,236 +102,4 @@ Una volta determinato il coefficiente $K$ caratteristico del bacino, l'**increme
 $$\Delta I = \frac{1}{K} \times \log_{10} \left( \frac{T_{R, \text{desiderato}}}{T_{R, \text{noto}}} \right)$$
 Il valore $\Delta I$ (espresso in forma decimale) viene applicato in modo omogeneo a tutti i *pixel* di intensità dell'evento-scenario, garantendo che le distribuzioni spaziali e temporali ricostruite rimangano inalterate.
\ No newline at end of file
-## 2.4 Analisi Statistica e Modelli di Distribuzione
-### 2.4.1 Analisi Statistica dei Singoli Attributi
-Per ciascuno degli attributi selezionati è stata condotta un'analisi statistica **univariata** finalizzata a modellarne la distribuzione di probabilità.
-La modellazione è stata effettuata separatamente per due regioni:
-* **Corpo della distribuzione:** Stimato con la **Empirical Cumulative Distribution Function (ECDF)**.
-* **Coda (valori estremi):** Stimata con la **Generalized Pareto Distribution (GPD)**.
-#### Determinazione della Soglia (Peak Over Threshold - POT)
-La soglia che separa queste due regioni (corpo e coda) è stata determinata tramite un'analisi diagnostica **Peak Over Threshold (POT)** multi-criterio.
-La soglia finale è stata selezionata bilanciando due esigenze contrapposte:
-1.  Minimizzare il *bias* (utilizzando soglie sufficientemente alte).
-2.  Mantenere un numero sufficiente di eventi estremi per una stima robusta dei parametri GPD.
-I **criteri essenziali** utilizzati per la validazione della soglia e l'adeguatezza del *fit* GPD includono:
-* La stabilità del parametro di forma ($\xi$).
-* La linearità della Mean Residual Life.
-* L'aderenza statistica valutata con test **KS** (Kolmogorov–Smirnov).
-Questo processo ha garantito che i parametri, stimati sui dati in eccesso, fossero robusti e rappresentativi del comportamento estremo degli attributi.
-| Criterio | Metodo/Riferimento | Obiettivo |
-| :--- | :--- | :--- |
-| **Stabilità del Parametro di Forma** | *Grafico della stabilità rispetto al valore soglia.* | Assicurare che il parametro di forma ($\xi$) non sia influenzato da piccole variazioni della soglia. |
-| **Linearità della MRL (Mean Residual Life)** | *Grafico della MRL.* | Verificare che la GPD sia un modello appropriato per i dati in eccesso. |
-| **Test KS** (Kolmogorov–Smirnov) | *Confronto tra Funzione di Ripartizione (CDF) empirica e teorica.* | Valutare l'aderenza statistica del fit GPD alla distribuzione dei dati estremi. |
-| **Test QQ (Quantile-Quantile)** | *Confronto tra quantili empirici e teorici.* | Analisi visiva per confermare l'adeguatezza del modello sui quantili estremi. |
-| **Test PP (Probability-Probability)** | *Confronto tra probabilità empiriche e teoriche.* | Analisi visiva per confermare l'adeguatezza del modello sulla distribuzione di probabilità. |
-#### Modello Ibrido e Popolazione Estrema
-Una volta definito il valore soglia più opportuno, è stata creata la **popolazione degli eventi estremi**, che include tutti gli eventi che superano la soglia per **almeno un attributo** (*filtro OR*). Di conseguenza, è stata definita la **matrice M** degli attributi degli eventi estremi, composta da **1702 elementi**.
-Per modellare la distribuzione completa di ciascuna variabile, è stato adottato un **approccio ibrido** per le distribuzioni marginali:
-| Porzione della Distribuzione | Metodo di Modellazione | Obiettivo |
-| :--- | :--- | :--- |
-| **Corpo** (porzione centrale e più densa) | **ECDF** (non parametrico) | Massima aderenza ai dati osservati. |
-| **Coda** (valori estremi) | **GPD** (metodo POT) | Stima robusta e possibilità di estrapolare eventi estremi. |
-Questa combinazione assicura che il modello sia statisticamente robusto su tutto il *range* di valori, riuscendo a descrivere in maniera accurata la distribuzione degli eventi sotto-soglia, più frequenti, ma permettendo comunque di estrapolare eventi estremi dal campione tramite la GPD.
---
-## 2.5 Modellazione della Dipendenza Multivariata (Vine Copula)
-Per modellare in modo accurato la distribuzione multivariata degli eventi estremi, è fondamentale catturare la complessa **struttura di dipendenza** tra gli attributi nella **Matrice M**. A causa della non-linearità e dell'asimmetria tipiche dei fenomeni estremi, non è efficace utilizzare modelli multivariati tradizionali.
-Si è quindi fatto ricorso alla **Vine Copula (R-Vine)**, un modello gerarchico flessibile.
-### 2.5.1 Fasi del Processo di Modellazione
-1. **Trasformazione Spaziale Uniforme:**
-    * Il primo passo è la **trasformazione nello spazio uniforme [0, 1]** di ciascun attributo estremo.
-    * Questa operazione viene effettuata utilizzando la rispettiva **distribuzione marginale**.
-    * L'obiettivo è standardizzare i dati, consentendo alla Copula di modellare esclusivamente la **dipendenza di rango**.
-2. **Scomposizione Gerarchica (R-Vine):**
-    * La Vine Copula scompone la dipendenza tra $N$ attributi in una serie di **copule binarie** attraverso **$N-1$ alberi gerarchici** ($T_1, T_2, \dots, T_{N-1}$).
-### 2.5.2 Struttura degli Alberi
-* **Albero Iniziale ($T_1$):** Le copule binarie sono modellate direttamente tra le **coppie di variabili trasformate**.
-* **Alberi Successivi:** I nodi rappresentano le densità di copula **condizionate** stimate nel livello precedente. Gli archi modellano la **dipendenza residua** condizionata da un sottoinsieme di altre variabili.
-Questo approccio permette di ottimizzare la selezione della **famiglia di copula** (es. Gumbel, Clayton, Gaussiana, t) più appropriata per ogni specifica coppia di variabili condizionate/incondizionate. L'uso di copule **asimmetriche** (come Gumbel e Clayton) è utile in questo contesto, poiché permette di catturare la **dipendenza di coda** tra le variabili.
---
-## 2.6 Generazione della Popolazione Sintetica di Eventi Estremi
-Per ottenere un campione robusto che copra l'intera regione di interesse multivariata e consenta una stima stabile del **Tempo di Ritorno (T<sub>r</sub>)**, è stata eseguita una simulazione **Monte Carlo** sulla struttura di dipendenza stimata.
-Sono stati estratti **2 milioni di campioni** dalla Vine Copula precedentemente fittata. Il processo si articola in due fasi chiave:
-* **1. Estrazione dallo Spazio Uniforme:** La Vine Copula, che opera nello spazio uniforme $[0, 1]$, viene campionata per generare una matrice di valori $(u_1, u_2, \dots, u_i)$. Questa matrice codifica la probabilità congiunta delle variabili, rispettando la complessa **struttura di dipendenza di coda**.
-* **2. Trasformazione Inversa (Matrice M'):** I campioni uniformi vengono quindi trasformati nello spazio fisico originale (la **Matrice M'**, che rappresenta gli attributi simulati) attraverso la **Funzione di Distribuzione Cumulativa Inversa** di ciascuna distribuzione marginale ibrida (ECDF + GPD).
-Questa trasformazione inversa è condizionale: i valori $u$ che cadono **sotto la soglia** vengono riportati nello spazio fisico utilizzando il corrispondente quantile dell'**ECDF**, mentre quelli **estremi** vengono trasformati utilizzando il corrispondente quantile della **GPD**. Il risultato è la Matrice M', una popolazione sintetica di 2 milioni di eventi che replica fedelmente sia le distribuzioni individuali degli attributi che la loro interdipendenza multivariata, estendendosi oltre la dimensione del campione osservato, e permettendo di stimare il Tempo di Ritorno basandosi su un lungo periodo virtuale di osservazione.
---
-## 2.7 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare T<sub>r</sub>
-L'obiettivo di questa fase è proiettare sia gli eventi osservati che quelli simulati nel **dominio dei Fattori**, in modo da definire una regione dello spazio multivariato su cui valutare la probabilità di superamento.
-### 2.7.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi W
-La fase inizia con l'applicazione dell'**Analisi Fattoriale Esplorativa (EFA)** sulla Matrice degli Attributi **M** (eventi estremi originali). Per l'estrazione dei Fattori è stato impiegato il metodo di **Fattorizzazione Assiale Principale (Principal Axis Factoring - PAF)**, eseguito utilizzando la libreria *factor\_analyzer*.
-Dopo l'estrazione iniziale dei Fattori tramite il metodo PAF, che assicura che i fattori siano ortogonali tra loro, è stata applicata la **Rotazione Varimax** per ottimizzare la struttura fattoriale e facilitarne l'interpretazione.
-La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettivo la massimizzazione della varianza dei *factor loadings* al quadrato per ciascun fattore. Poiché è una rotazione ortogonale, mantiene l'indipendenza lineare tra i fattori. Il suo ruolo primario è:
-* **Massima Semplificazione:** La rotazione ridefinisce gli assi dei fattori 1 e 2 in modo che ogni variabile originale (attributo) tenda ad avere *loadings* (pesi) **elevati solo su un singolo fattore** e *loadings* prossimi a zero sugli altri.
-* **Migliore Interpretabilità:** Questo processo crea una struttura dei fattori più pulita (**Simple Structure**), rendendo immediato capire quali attributi contribuiscono a definire in modo univoco un dato fattore (es. gli attributi di Intensità su Factor 1 e quelli di Estensione/Durata su Factor 2, come si evince dalla Tabella 1).
-| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
-| :--- | :--- | :--- |
-| **Vol<sub>P</sub>** | 0.899 | 0.180 |
-| **Vol<sub>1mm</sub>** | 0.418 | 0.885 |
-| **Area** | 0.038 | 0.820 |
-| **durata** | -0.265 | 0.690 |
-| **Area<sub>Pmax</sub>** | 0.732 | 0.162 |
-| **Area<sub>max\_2mm</sub>** | 0.571 | 0.501 |
-| **P<sub>1h</sub>** | 0.844 | -0.010 |
-| **P<sub>3h</sub>** | 0.733 | 0.235 |
-| **a<sub>VOL</sub>** | 0.341 | 0.908 |
-| **P<sub>max</sub>** | 0.880 | -0.123 |
-| *Tabella 1. Factor loadings* | | |
-Questo metodo calcola la **Matrice dei Pesi del Punteggio Fattoriale W** tramite un'analisi di regressione che fornisce la migliore stima lineare dei Fattori, utilizzando la struttura fattoriale ruotata.
-La Matrice $W$ è definita dalla seguente equazione:
-$$
-W = R^{-1} L (L^T R^{-1} L + U^2)^{-1} L^T R^{-1}
-$$
-Dove:
-* $L$: è la Matrice dei **Factor Loadings** ruotati.
-* $R$: è la **Matrice di Correlazione** tra le variabili originali standardizzate.
-* $U^2$: è la **Matrice Diagonale delle Unicità**.
-L'**Unicità** ($u_{i}^{2}$) di una variabile viene calcolata come la differenza tra la sua varianza totale, che in forma standardizzata vale $1$, e la sua **Comunalità** ($h_{i}^{2}$):
-$$
-u_{i}^{2} = 1 - h_{i}^{2}
-$$
-Dove $h_{i}^{2}$ è la somma dei quadrati dei *loadings* della variabile $i$ sui $k$ fattori:
-$$
-h_{i}^{2} = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^{2}
-$$
-La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale.
-La Matrice $W$ risultante, che proietta lo spazio delle 10 variabili nello spazio bidimensionale dei Fattori, è indicata in Tabella 2.
-| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
-| :--- | :--- | :--- |
-| **Vol<sub>P</sub>** | 0.229 | -0.027 |
-| **Vol<sub>1mm</sub>** | 0.026 | 0.273 |
-| **Area** | -0.072 | 0.288 |
-| **durata** | -0.143 | 0.272 |
-| **Area<sub>Pmax</sub>** | 0.185 | -0.016 |
-| **Area<sub>max\_2mm</sub>** | 0.107 | 0.121 |
-| **P<sub>1h</sub>** | 0.233 | -0.089 |
-| **P<sub>3h</sub>** | 0.178 | 0.010 |
-| **a<sub>VOL</sub>** | 0.002 | 0.289 |
-| **P<sub>max</sub>** | 0.255 | -0.133 |
-| *Tabella 2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali* | | |
-| Attributo | Unicità ($u_{i}^{2}$) |
-| :--- | :--- |
-| **Vol<sub>P</sub>** | 0.160 |
-| **Vol<sub>1mm</sub>** | 0.043 |
-| **Area** | 0.327 |
-| **durata** | 0.453 |
-| **Area<sub>Pmax</sub>** | 0.438 |
-| **Area<sub>max\_2mm</sub>** | 0.423 |
-| **P<sub>1h</sub>** | 0.288 |
-| **P<sub>3h</sub>** | 0.407 |
-| **a<sub>VOL</sub>** | 0.059 |
-| **P<sub>max</sub>** | 0.210 |
-| *Tabella 3. Unicità* | |
-### 2.7.2 Calcolo degli Score Fattoriali F e F'
-La stessa matrice dei pesi $W$ viene utilizzata sia sugli eventi originali ($\mathbf{M}$) che sulla popolazione simulata ($\mathbf{M'}$):
-$$
-\mathbf{F} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{W} \quad \text{e} \quad \mathbf{F'} = \mathbf{M'} \cdot \mathbf{W}
-$$
-Questa proiezione nel piano bidimensionale dei Fattori ($\mathbf{F'}$) crea la regione di eventi estremi simulata in uno spazio di due variabili indipendenti. Questo rende possibile calcolare, per ciascun evento originale (con score $\mathbf{F}$), la **probabilità di superamento $p$** dei due fattori tramite confronto campionario (*rank-based*) con la popolazione simulata $\mathbf{F'}$.
-Vista l’indipendenza dei fattori, la probabilità di superamento congiunta $p_{c}$ risulta essere pari al prodotto delle probabilità di superamento dei singoli fattori: $p_{c} = p(F_{1}) \cdot p(F_{2})$.
-Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato T<sub>r</sub>** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica.
-L'equazione utilizzata per convertire la probabilità di superamento congiunta e campionaria in Tempo di Ritorno è la seguente:
-$$
-T_r(\mathbf{F}) = \frac{1}{\lambda_{ext} \cdot p(\mathbf{F})}
-$$
-Dove:
-* $T_r(\mathbf{F})$: è il Tempo di Ritorno in anni per l'evento caratterizzato dai punteggi fattoriali $\mathbf{F}$.
-* $\lambda_{ext}$: è il **Tasso Medio Annuale di Occorrenza degli Eventi Estremi**, calcolato come il numero totale di eventi estremi osservati nella matrice $\mathbf{M}$ diviso per il numero totale di anni di osservazione nella serie storica. Questo valore è la probabilità marginale di osservare almeno un evento estremo in un anno.
-* $p(\mathbf{F})$: è la **Probabilità di Superamento Congiunto** dell'evento, stimata tramite il confronto campionario (*rank-based*) degli Score $\mathbf{F}$ con la popolazione sintetica $\mathbf{F'}$.
---
-## 2.8 Analisi di Sensitività Spaziale del Tempo di Ritorno (T<sub>r</sub>)
-Nei modelli idrologici tradizionali, il Tempo di Ritorno (**T<sub>r</sub>**) viene stimato localmente, utilizzando la serie storica di un singolo pluviometro. Questo studio, basato su eventi areali descritti da attributi multivariati e campionati su un'intera regione geografica (la Toscana), estende il concetto di **T<sub>r</sub>** da puntuale a spaziale/multivariato.
-Questo approccio solleva il **Problema del Campionamento Spaziale**: come è influenzato il valore (e il significato) del **T<sub>r</sub>** quando la popolazione di eventi estremi di riferimento viene definita su scale spaziali diverse?
-L'obiettivo di questa analisi di sensitività è quantificare questa influenza. Il **T<sub>r</sub>** di un evento estremo può infatti variare drasticamente a seconda che sia confrontato con la popolazione di eventi estremi di tutta la regione (un contesto globale) o solo con la popolazione estratta da un contesto locale (un'area ristretta attorno al suo baricentro).
-### 2.8.1 Procedura di Analisi Spaziale Iterativa
-Per un generico evento estremo osservato $\mathbf{e}$ con coordinate note del baricentro (x<sub>Gp</sub>, y<sub>Gp</sub>), il **T<sub>r</sub>** viene testato iterativamente su una serie crescente di **raggi spaziali $R$**.
-1.  Si definisce una lista di raggi $R$ crescenti che fungono da proxy per la scala spaziale dell'analisi.
-2.  A ciascun elemento simulato in $\mathbf{M'}$ (i 2 milioni di eventi) viene associata una coordinata spaziale del baricentro in modo casuale all'interno dell'area di studio.
-3.  Per ogni raggio $R$, viene selezionato un $\mathbf{M''}$, sottoinsieme di $\mathbf{M'}$, composto solo dagli eventi simulati la cui distanza dal baricentro dell'evento di interesse $\mathbf{e}$ è minore di $R$ ($\text{dist}(\mathbf{e} - \mathbf{M''}) < R$).
-4.  Gli score fattoriali per l'evento osservato $\mathbf{e}$ ($\mathbf{F}(\mathbf{e})$) sono calcolati utilizzando la matrice dei pesi $W$ derivata da $\mathbf{M}$. Gli score simulati ($\mathbf{F''}$) sono calcolati applicando la stessa matrice $W$ al sottocampione spaziale $\mathbf{M''}$.
-5.  La probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ dell'evento $\mathbf{e}$ viene ricalcolata tramite confronto campionario (*rank-based*) tra $\mathbf{F}(\mathbf{e})$ e $\mathbf{F''}$.
-Il Tempo di Ritorno Multivariato $T_r$ viene calcolato in funzione di $R$ utilizzando l'equazione:
-$$
-T_r(\mathbf{F}, R) = \frac{1}{\lambda_{ext}(R) \cdot p(\mathbf{F})}
-$$
-Dove $\lambda_{ext}(R)$ è il **Tasso Medio Annuale di Occorrenza degli Eventi Estremi** stimato entro il raggio $R$.
-Questa procedura viene iterata su ciascun evento estremo $\mathbf{e}$ in $\mathbf{M}$ per diversi valori del raggio $R$. Le figure 2 e 3 mostrano l'andamento del $T_r$ in funzione della scala spaziale dell’analisi per due eventi distinti della Toscana.
\ No newline at end of file