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# 1. Analisi di probabilità, tempo di ritorno e pericolosità in condizioni non stazionarie
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Il primo problema da affrontare per una revisione dei metodi di progettazione a fronte dei cambiamenti climatici è l’analisi di pericolosità in condizioni non stazionarie, che riguarda prima di tutto l’analisi degli estremi idrologici e a seguire anche una necessaria ridefinizione di pericolosità. Sul tema della analisi della pericolosità e degli estremi idrologici in condizioni non stazionarie esiste ormai una ampia letteratura (si veda ad esempio anche Cheng et al., 2014, Vogel & Castellarin, 2017, Silva et al., 2021, Das & Umamahesh, 2022, Vinnarasi & Dhanya, 2022), che va da tecniche che affrontano il problema di identificazione delle leggi di estremo su serie temporali di breve durata (in maniera da poter direttamente identificare i trend climatici tramite analisi su finestre mobili) ad una più generale ridefinizione della probabilità di accadimento di un evento di determinata magnitudo (volume di pioggia, portata di picco, ecc.). Rispetto al tradizionale legame univoco fra magnitudo e frequenza di accadimento (o tempo di ritorno), basato su ipotesi di stazionarietà, la non stazionarietà introduce due cambiamenti fondamentali:
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- la probabilità perde il significato di valore asintotico della frequenza di accadimento (approccio frequentista), ma ritorna alla definizione originale Bayesiana di stima della possibilità che nel futuro qualcosa possa accadere, stima condizionata allo stato di conoscenza in un determinato momento (de Finetti, 2017;
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- il legame fra magnitudo e probabilità di accadimento non è più indipendente dal tempo (nel caso stazionario, il tempo di ritorno ha una relazione predefinita con la probabilità e l’intervallo temporale su cui viene calcolata, secondo la nota formula universale del rischio intrinseco per eventi indipendenti in regime stazionario), ma dipende adesso in maniera esplicita e non predeterminata sia dal momento della stima che dall’intervallo su cui viene stimata (Vogel & Castellarin, 2017).
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## 1.1 Ambito applicativo
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### La non-stazionarietà delle serie pluviometriche in Toscana
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I segnali del cambiamento climatico cominciano ad essere evidenti da diversi anni, e misurabili con analisi statistiche rigorose, su diverse serie pluviometriche anche in Toscana (Fatichi & Caporali, 2009, Bartolini et al., 2014). Più complessa però è la determinazione di cambiamenti e *trends* (intesi come cambiamenti progressivi e continuativi) nelle piogge estreme, intrinsecamente caratterizzate da un numero molto più limitato di dati (e.g. i soli valori massimi annuali, nel caso dell’analisi standard di tipo block maxima, cfr. alla sezione sui metodi per l’analisi degli estremi). Un recentissimo studio pubblicato sui cambiamenti delle piogge estreme in Italia (Mazzoglio et al., 2025), mostra chiaramente come anche la Toscana, insieme al resto dell’Italia, sia interessata da significativi cambiamenti nelle distribuzioni di probabilità delle piogge estreme, ma con due evidenti elementi di complessità: la forte variabilità sul territorio di ampiezza e perfino segno dei trends; la dipendenza del cambiamento anche dalla tipologia delle precipitazioni (precipitazioni convettive brevi, ben rappresentabili dal dato massimo orario, e precipitazioni legate a fenomeni meteorologici di larga scala, ben rappresentabili dal dato massimo giornaliero). Nello specifico, per la Toscana (Figura 1) vengono stimati dei trends molto significativi per le massime piogge giornaliere soprattutto lungo la dorsale appenninica tosco-emiliana e più modeste nella Toscana centrale, di segno opposto invece in gran parte del sud della regione; più variabili territorialmente (ma comunque più significativi ancora nel nord ella regione) sono invece i trends per la massime piogge orarie.
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*Figura 1 - Statistica del test di Mann-Kendall per gli intervalli di tempo di 1 ora (a) e 24 ore (c). Stimatore della pendenza di Sen per gli intervalli di tempo di 1 ora (b) e 24 ore (d). Le mappe di background sono ottenute interpolando spazialmente con un Kriging ordinario la statica del test di Mann-Kendall (a, c) e gli stimatori della pendenza di Sen (b, d) ottenuti in tutte le stazioni, senza considerare la significatività del trend. La dimensione del triangolo è inversamente proporzionale al livello di significatività nei riquadri (a, c) e proporzionale allo stimatore della pendenza di Sen nei riquadri (b, d). (Tradotto e adattato da Mazzoglio et al., 2025).*
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### La progettazione per affidabilità e vita attesa dell'opera
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In presenza di sensibili non stazionarietà nelle forzanti (meteorologiche e/o idrologiche) di progetto, la classica progettazione per tempi di ritorno perde largamente significato. La progettazione per tempi di ritorno assume infatti che la probabilità di superamento di un certo valore della forzante di progetto non cambi nel tempo. In caso di non stazionarietà, la caratterizzazione della forzante di progetto in termini di probabilità di superamento può essere mantenuta a patto di considerare l'evoluzione temporale di tale probabilità (Read & Vogel, 2015); ciò si traduce in pratica nel dover considerare esplicitamente, nei calcoli di progetto, un intervallo preciso di riferiemnto (inzio e fine, o alternativamente inizio e lunghezza del periodo). Come parametro di sintesi, per tenere conto della probabilità di superameto non più in un anno qualsiasi (inverso del tempo di ritorno) ma in un inervallo di anni più lungo, includendo al contempo la possibilità che le propabilità cambino del tempo, conviene utilizzare il concetto di **affidabilità** (*reliability*), definibile in questo contesto come la probabilità che la forzante meteorologica di progetto NON venga superata in una precisata sequenza di anni $i=\left\( 1,...,N \right\)$. Indicando quindi con $Q_P$ il valore della forzante di progetto (altrimenti detta magnitudo di progetto) e con $p_i\left\(Q_P\right\)$ la probabilità che questa venga superata nel generico anno $i$, l'espressione generale per l'affidabilità $A_N(Q_P)$ (generale nel senso che le probabilità $p_i$ possono essere diverse al variare dell'anno $i$) è la seguente:
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A_N(Q_P) = \prod_{i=1}^{N} \left[ 1 - p_i(Q_P) \right]
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$$
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Da questa espressione generale si ricava anche la nota espressione dell’affidabilità per il caso particolare di processo stazionario, in cui $p_1 = p_2 = ... = p_N = 1/T_r(Q_p)$ e $T_r$ è il tempo di ritorno di $Q_p$, per cui:
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$$
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A_N(Q_P) = \left[1-\frac{1}{T_r(Q_p)}\right]^N
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$$
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L'utilizzo della formula generale dell'affidabilità per il calcolo della forzante $Q_P$ richiede, oltre ad un modello probabilistico non stazionario che la leghi alle probabilità $p_i$ (si veda più avanti), la specifica della sequenza di anni $(1,...,N)$ da considerare ed il valore corrispondente $A_N$ di affidabilità da conseguire. Per la sequenza di anni è opportuno fare riferimento al periodo di funzionamento atteso dell'opera, cioè assumere che $N$ sia pari alla **vita attesa dell'opera** $T_v$ (in anni) e il primo anno considerato nella sequenza sia l'anno di avvio del suo funzionamento. Valori più piccoli di $N$ non consentirebbero una completa valutazione dell'affidabilità dell'opera, che comunque andrebbe nominalmente 'ricostruita' o adeguata dopo $N$ anni. Per quanto invece riguarda la definizione del grado di affidabilità da considerare come obiettivo della progettazione, c'è la necessità di dare continuità con le attuali normative che prevedono di determinare la forzante di progetto sulla base di un prescritto tempo di ritorno $T_r$ (e.g. $T_r = 200 anni$). Tale continuità può essere garantita **assumendo che il livello di affidabilità da raggiungere sia lo stesso che si potrebbe calcolare in regime stazionario per il prescritto tempo di ritorno di progetto**, cioè:
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$$
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\prod_{i=1}^{T_v} \left[ 1 - p_i(Q_P) \right] = \left[1-\frac{1}{T_r}\right]^{T_v}
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$$
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Si può facilmente dimostrare che, come sempre verificato nel caso di probabilità di variabili continue, l'ipotesi che le funzioni $p_i(Q_p)$ siano tutte monotonicamente decrescenti (cioè all'aumentare di $Q_p$ la probabilità che tale quantità venga superata ad un determinato istante diminuisce) la suddetta equazione implicita in $Q_p$ ammette un'unica soluzione. Nella generalità dei casi tale soluzione deve essere trovata con tecniche numeriche di **risoluzione di equazioni implicite**, tecniche che però sono ormai facilmente disponibili in moltissimi ambienti di calcolo (inclusi i più comuni fogli elettronici). Per la descrizione dei modelli probabilistici che consentono di specificare le funzioni di probabilità $p_i$ si rimanda all'**Appendice 1 - Teoria degli estremi idrologici in regimi stazionario e non stazionario**.
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## 1.2 Analisi di probabilità degli eventi estremi in regime non stazionario
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In termini generali, l’obiettivo dell’analisi qui descritta è quella di fornire uno strumento utilizzabile con i dati idrologici comunemente disponibili per il calcolo delle probabilità $p_1\left(Q_P\right)\ ...\ \ p_N\left(Q_P\right)$ anche nel caso generale in cui queste non siano fra loro tutte uguali e, in più, quando queste si riferiscono ad un periodo futuro (proiezione). Le principali ipotesi di lavoro comunemente adottate sono:
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- a) la sequenza $p_1\left(Q_P\right)\ ...\ \ p_N\left(Q_P\right)$ è ben approssimabile da una funzione di *trend* di tipo algebrico;
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- b) i parametri della funzione di *trend* da utilizzare per la proiezione delle suddette probabilità sono coincidenti con quelli stimabili dal trend eventualmente osservabile nelle analoghe probabilità relative al recente passato.
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Per l’implementazione pratica della prima ipotesi di lavoro, esistono sostanzialmente tre possibilità:
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- a.1) La funzione di *trend* rappresenta direttamente l’andamento futuro delle probabilità $p_i\left(Q_P\right)$; considerando come caso di interesse quello in cui tali probabilità (di superamento della quantità $Q_P$) sono attese aumentare nel tempo, e imponendo il vincolo che tali probabilità non potranno mai comunque eccedere l’unità, un conveniente modello di *trend* mono-parametrico crescente è il seguente:
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$$ p_i\left(Q_P\right)=1-\left[1-p_0\left(Q_P\right)\right]e^{-ki}$$
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- a.2) Più funzioni di $trend$ rappresentano l’andamento futuro dei momenti statistici (media, varianza, asimmetria, …) o degli L-momenti (Hosking, 1990) che caratterizzano la variabile aleatoria $Q_P$; in questo caso non esistno limiti superiori o inferiori di carattere generale, e seguendo il generale principio che il numero di dati necessari per stimare in maniera affidabile i parametri di un modello cresce proporzionalmente al numero di parametri da stimare, i modelli di *trend* più counmente adottati sono di tipo lineare:
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$$ M_{j,i}\left(Q_P\right)=M_{j,0} + ki$$
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dove $M_{j,i}$ è il generico momento (o L-momento) di ordine $j$;
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- a.3) Tutte le probabilità $p_i\left(Q_P\right)$ sono comunque rappresentabili da uno stesso tipo di distribuzione di probabilità (e.g. Gumbel, GEV, Pareto, ...), i cui parametri variano nel tempo secondo determinabili funzioni di $trend$ (ancora, solitamente assunte essere di tipo lineare):
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$$ \theta_{j,i}\left(Q_P\right)=\theta_{j,0} + ki$$
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dove $\theta_{j,i}$ è il generico parametro che caratterizza la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Q_P$.
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Si noti poi che, nel caso in cui i parametri $\theta_{j,i}$ siano stimati con il cosiddetto 'metodo dee momenti', i modelli a.2) e a.3) sono sostanzialmente analoghi. |
