guida/AppendiceB_5.md.md

+## B.5 Definizione della Regione dello Spazio su cui Calcolare T$_r$
+
+L'obiettivo di questa fase è proiettare sia gli eventi osservati che quelli simulati nel **dominio dei Fattori**, in modo da definire una regione dello spazio multivariato su cui valutare la probabilità di superamento.
+
+### B.5.1 Analisi Fattoriale e Calcolo dei Pesi W
+
+La fase inizia con l'applicazione dell'**Analisi Fattoriale Esplorativa (EFA)** sulla Matrice degli Attributi **M** (eventi estremi originali). Per l'estrazione dei Fattori è stato impiegato il metodo di **Fattorizzazione Assiale Principale (Principal Axis Factoring - PAF)**, eseguito utilizzando la libreria *factor\_analyzer*.
+
+Dopo l'estrazione iniziale dei Fattori tramite il metodo PAF, che assicura che i fattori siano ortogonali tra loro, è stata applicata la **Rotazione Varimax** per ottimizzare la struttura fattoriale e facilitarne l'interpretazione.
+
+La Rotazione Varimax è una tecnica di rotazione ortogonale che ha come obiettivo la massimizzazione della varianza dei *factor loadings* al quadrato per ciascun fattore. Poiché è una rotazione ortogonale, mantiene l'indipendenza lineare tra i fattori. Il suo ruolo primario è:
+
+* **Massima Semplificazione:** La rotazione ridefinisce gli assi dei fattori 1 e 2 in modo che ogni variabile originale (attributo) tenda ad avere *loadings* (pesi) **elevati solo su un singolo fattore** e *loadings* prossimi a zero sugli altri.
+* **Migliore Interpretabilità:** Questo processo crea una struttura dei fattori più pulita (**Simple Structure**), rendendo immediato capire quali attributi contribuiscono a definire in modo univoco un dato fattore (es. gli attributi di Intensità su Factor 1 e quelli di Estensione/Durata su Factor 2, come si evince dalla Tabella B.4.1).
+
+| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| **$\text{Vol}_P$** | 0.899 | 0.180 |
+| **$\text{Vol}_{1\text{mm}}$** | 0.418 | 0.885 |
+| **Area** | 0.038 | 0.820 |
+| **durata** | -0.265 | 0.690 |
+| **$\text{Area}_{P\text{max}}$** | 0.732 | 0.162 |
+| **$\text{Area}_{\text{max\_}2\text{mm}}$** | 0.571 | 0.501 |
+| **$\text{P}_{1\text{h}}$** | 0.844 | -0.010 |
+| **$\text{P}_{3\text{h}}$** | 0.733 | 0.235 |
+| **$a_{\text{VOL}}$** | 0.341 | 0.908 |
+| **$\text{P}_{\text{max}}$** | 0.880 | -0.123 |
+| *Tabella B.4.1. Factor loadings* | | |
+
+Questo metodo calcola la **Matrice dei Pesi del Punteggio Fattoriale W** tramite un'analisi di regressione che fornisce la migliore stima lineare dei Fattori, utilizzando la struttura fattoriale ruotata.
+
+La Matrice $W$ è definita dalla seguente equazione:
+
+$$
+W = R^{-1} L (L^T R^{-1} L + U^2)^{-1} L^T R^{-1}
+$$
+
+Dove:
+
+* $L$: è la Matrice dei **Factor Loadings** ruotati.
+* $R$: è la **Matrice di Correlazione** tra le variabili originali standardizzate.
+* $U^2$: è la **Matrice Diagonale delle Unicità**.
+
+L'**Unicità** ($u_{i}^{2}$) di una variabile viene calcolata come la differenza tra la sua varianza totale, che in forma standardizzata vale $1$, e la sua **Comunalità** ($h_{i}^{2}$):
+
+$$
+u_{i}^{2} = 1 - h_{i}^{2}
+$$
+
+Dove $h_{i}^{2}$ è la somma dei quadrati dei *loadings* della variabile $i$ sui $k$ fattori:
+
+$$
+h_{i}^{2} = \sum_{j=1}^{k} l_{ij}^{2}
+$$
+
+La forte **collinearità** tra alcune variabili originali (come evidenziato dalla Matrice di Correlazione $R$) può portare alla singolarità o all'instabilità della matrice $R^{-1}$ e, di conseguenza, rendere la stima della Matrice dei Pesi $W$ instabile e non robusta. Per mitigare questo effetto, la lista originale di variabili è stata ridotta ai **10 attributi** che mostrano un equilibrio tra rilevanza fisica e intercorrelazione gestibile per l'analisi fattoriale.
+
+La Matrice $W$ risultante, che proietta lo spazio delle 10 variabili nello spazio bidimensionale dei Fattori, è indicata in Tabella B.4.2.
+
+| Attributo | Factor\_1 | Factor\_2 |
+| :--- | :--- | :--- |
+| **$\text{Vol}_P$** | 0.229 | -0.027 |
+| **$\text{Vol}_{1\text{mm}}$** | 0.026 | 0.273 |
+| **Area** | -0.072 | 0.288 |
+| **durata** | -0.143 | 0.272 |
+| **$\text{Area}_{P\text{max}}$** | 0.185 | -0.016 |
+| **$\text{Area}_{\text{max\_}2\text{mm}}$** | 0.107 | 0.121 |
+| **$\text{P}_{1\text{h}}$** | 0.233 | -0.089 |
+| **$\text{P}_{3\text{h}}$** | 0.178 | 0.010 |
+| **$a_{\text{VOL}}$** | 0.002 | 0.289 |
+| **$\text{P}_{\text{max}}$** | 0.255 | -0.133 |
+| *Tabella B.4.2. Pesi complessivi dei punteggi fattoriali* | | |
+
+| Attributo | Unicità ($u_{i}^{2}$) |
+| :--- | :--- |
+| **$\text{Vol}_P$** | 0.160 |
+| **$\text{Vol}_{1\text{mm}}$** | 0.043 |
+| **Area** | 0.327 |
+| **durata** | 0.453 |
+| **$\text{Area}_{P\text{max}}$** | 0.438 |
+| **$\text{Area}_{\text{max\_}2\text{mm}}$** | 0.423 |
+| **$\text{P}_{1\text{h}}$** | 0.288 |
+| **$\text{P}_{3\text{h}}$** | 0.407 |
+| **$a_{\text{VOL}}$** | 0.059 |
+| **$\text{P}_{\text{max}}$** | 0.210 |
+| *Tabella B.4.3. Unicità* | |
+
+### B.5.2 Calcolo degli Score Fattoriali F e F'
+
+La stessa matrice dei pesi $W$ viene utilizzata sia sugli eventi originali ($\mathbf{M}$) che sulla popolazione simulata ($\mathbf{M'}$):
+
+$$
+\mathbf{F} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{W} \quad \text{e} \quad \mathbf{F'} = \mathbf{M'} \cdot \mathbf{W}
+$$
+
+Questa proiezione nel piano bidimensionale dei Fattori ($\mathbf{F'}$) crea la regione di eventi estremi simulata in uno spazio di due variabili indipendenti. Questo rende possibile calcolare, per ciascun evento originale (con score $\mathbf{F}$), la **probabilità di superamento $p$** dei due fattori tramite confronto campionario (*rank-based*) con la popolazione simulata $\mathbf{F'}$.
+
+Vista l’indipendenza dei fattori, la probabilità di superamento congiunta $p_{c}$ risulta essere pari al prodotto delle probabilità di superamento dei singoli fattori: $p_{c} = p(F_{1}) \cdot p(F_{2})$.
+
+Una volta calcolata la probabilità di superamento congiunta $p(\mathbf{F})$ per ciascun evento estremo, il **Tempo di Ritorno Multivariato $\text{T}_r$** (espresso in anni) viene calcolato tenendo conto della probabilità e del tasso di occorrenza degli eventi estremi nella serie storica.
+
+L'equazione utilizzata per convertire la probabilità di superamento congiunta e campionaria in Tempo di Ritorno è la seguente:
+
+$$
+T_r(\mathbf{F}) = \frac{1}{\lambda_{\text{ext}} \cdot p(\mathbf{F})}
+$$
+
+Dove:
+
+* $T_r(\mathbf{F})$: è il Tempo di Ritorno in anni per l'evento caratterizzato dai punteggi fattoriali $\mathbf{F}$.
+* $\lambda_{\text{ext}}$: è il **Tasso Medio Annuale di Occorrenza degli Eventi Estremi**, calcolato come il numero totale di eventi estremi osservati nella matrice $\mathbf{M}$ diviso per il numero totale di anni di osservazione nella serie storica. Questo valore è la probabilità marginale di osservare almeno un evento estremo in un anno.
+* $p(\mathbf{F})$: è la **Probabilità di Superamento Congiunto** dell'evento, stimata tramite il confronto campionario (*rank-based*) degli Score $\mathbf{F}$ con la popolazione sintetica $\mathbf{F'}$.