| ... | ... | @@ -6,8 +6,8 @@ Nel caso di regime stazionario, si richiamano brevemente gli elementi principali |
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1. **Block Maxima (BM)** - E' il metodo più tradizionalmente utilizzato, basato sulla sola disponibilità di serie di massimi su prefissata finestra temporale (tipicamente annuale).
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2. **Peak Over Threshold (POT)** Tale metodo, di sviluppo più recente, si basa sulla disponibilità di serie temporali complete, cioè non limitata ai soli massimi annuali.
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Il metodo BM è di più facile applicazione, ma utilizzando una quantità di informazione (1 solo dato per anno di osservazione) le incertezze di stima crescono rapidamente quando il tempo di ritorno per il quale si vuole stimare la forzante diventa molto più grande del numero di anni di osservazione. Questa limitazione può diventare problematia, ad esempio, nelle analisi di regime non stazionario (si vede capitolo successivo).
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Il meotodo POT è più complesso da utilizzare, soprattutto per quanto riguarda le stime dei prametri delle distribuzioni di probabilità. Ha però l'indubbio vantaggio, rispetto al metodo BM, di utilizzare una quantità di dati molto maggiore a parità di anni di osservazione, e quindi di consentire stime con minore incertezza anche per elevati tempi di ritorno.
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Il metodo BM è di più facile applicazione, ma utilizzando una quantità di informazione (1 solo dato per anno di osservazione) le incertezze di stima crescono rapidamente quando il tempo di ritorno per il quale si vuole stimare la forzante diventa molto più grande del numero di anni di osservazione. Questa limitazione può diventare problematica, ad esempio, nelle analisi di regime non stazionario (si vede capitolo successivo).
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Il metodo POT è più complesso da utilizzare, soprattutto per quanto riguarda le stime dei parametri delle distribuzioni di probabilità. Ha però l'indubbio vantaggio, rispetto al metodo BM, di utilizzare una quantità di dati molto maggiore a parità di anni di osservazione, e quindi di consentire stime con minore incertezza anche per elevati tempi di ritorno.
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### A.1.1 Block Maxima
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#### A.1.2.1 Teoria generale
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Il metodo POT (Peka Over Threshold), coem suggerisce il nome, si bassa sulla analisi statistica non solo dei massimi annuali, ma di **tutti i valori registrati al di spora di una soglia prefissata**. Prerequisito per l'applicazione di tale metodo è la disponibilità di tutti i valori registrati (almeno a passo giornaliero, se no orario o sub-orario) per un certo numero di anni, fra i quali verranno selezionati tutti quelli al di spora della suddetta soglia. Tali prerequisito è ormai non più proibitivo, data la ormai pluridecennale registrazione in formato digitale di tutti i dati registrati dalla nuova rete di stazioni automatiche di monitoragggio idro-meteorologico della Regione Toscana, dati resi disponibili dal Servizio idrologico Regionale.
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La parte metodologica più complessa riguarda proprio la scelta del valore ottimale di riferimento, qui denominata $u$, che deve essere sufficientmente grande da cosentire la selezione dei soli valori rappresentativi di fenomeni intensi (anche se non estremi), ma non troppo grande da ridurre eccessivamente la numerosità del campione di dati al dispora della soglie. Per risolvere questo problema si descriverà più avanti un criterio operativo specifico.
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Il metodo POT (Peak Over Threshold), coem suggerisce il nome, si bassa sulla analisi statistica non solo dei massimi annuali, ma di **tutti i valori registrati al di spora di una soglia prefissata**. Prerequisito per l'applicazione di tale metodo è la disponibilità di tutti i valori registrati (almeno a passo giornaliero, se no orario o sub-orario) per un certo numero di anni, fra i quali verranno selezionati tutti quelli al di spora della suddetta soglia. Tali prerequisito è ormai non più proibitivo, data la ormai pluridecennale registrazione in formato digitale di tutti i dati registrati dalla nuova rete di stazioni automatiche di monitoraggio idro-meteorologico della Regione Toscana, dati resi disponibili dal Servizio idrologico Regionale.
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La parte metodologica più complessa riguarda proprio la scelta del valore ottimale di riferimento, qui denominata $u$, che deve essere sufficientemente grande da consentire la selezione dei soli valori rappresentativi di fenomeni intensi (anche se non estremi), ma non troppo grande da ridurre eccessivamente la numerosità del campione di dati al disopra della soglie. Per risolvere questo problema si descriverà più avanti un criterio operativo specifico.
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Denominando intanto con $X$ la variabile per la quale si vuole determinare la probabilità di estremo e con $u$ la suddetta soglia di riferimento (si veda figura sottostante), si può dimostrare che la probabilità di superamento di un certo valore $x$ (detta anche funzione di sopravvivenza), condizionata alla sola popolazione dei valori al di sopra della soglia $u$, segue la **legge di Pareto generalizzata**:
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$$ \\mathbb{P}[X \> x \mid X > u] = \left[ 1 + \frac{\xi (x - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi} $$
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$$\\mathbb{P}[X \> x \mid X > u] = \left[ 1 + \frac{\xi (x - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi}$$
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