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# Appendice A - Teoria degli estremi idrologici in regimi stazionario e non stazionario
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In questa Appendice
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## A1.1 Regime stazionario
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Nel caso di regime stazionario, si richiamano brevemente gli elementi principali della teoria degli estremi che prevede, come maggiormente applicati e consolidati, due metodi principali in funzione del tipo di serie temporali a disposizione:
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1. **Block Maxima (BM)** - E' il metodo più tradizionalmente utilizzato, basato sulla sola disponibilità di serie di massimi su prefissata finestra temporale (tipicamente annuale).
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2. **Peak Over Threshold (POT)** Tale metodo, di sviluppo più recente, si basa sulla disponibilità di serie temporali complete, cioè non limitata ai soli massimi annuali.
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Il metodo BM è di più facile applicazione, ma utilizzando una quantità di informazione (1 solo dato per anno di osservazione) le incertezze di stima crescono rapidamente quando il tempo di ritorno per il quale si vuole stimare la forzante diventa molto più grande del numero di anni di osservazione. Questa limitazione può diventare problematia, ad esempio, nelle analisi di regime non stazionario (si vede capitolo successivo).
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Il meotodo POT è più complesso da utilizzare, soprattutto per quanto riguarda le stime dei prametri delle distribuzioni di probabilità. Ha però l'indubbio vantaggio, rispetto al metodo BM, di utilizzare una quantità di dati molto maggiore a parità di anni di osservazione, e quindi di consentire stime con minore incertezza anche per elevati tempi di ritorno.
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### A.1.1 Block Maxima
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TDB
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### A.1.2 Peak Over Threshold
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#### A.1.2.1 Teoria generale
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Il metodo POT (Peka Over Threshold), coem suggerisce il nome, si bassa sulla analisi statistica non solo dei massimi annuali, ma di **tutti i valori registrati al di spora di una soglia prefissata**. Prerequisito per l'applicazione di tale metodo è la disponibilità di tutti i valori registrati (almeno a passo giornaliero, se no orario o sub-orario) per un certo numero di anni, fra i quali verranno selezionati tutti quelli al di spora della suddetta soglia. Tali prerequisito è ormai non più proibitivo, data la ormai pluridecennale registrazione in formato digitale di tutti i dati registrati dalla nuova rete di stazioni automatiche di monitoragggio idro-meteorologico della Regione Toscana, dati resi disponibili dal Servizio idrologico Regionale.
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La parte metodologica più complessa riguarda proprio la scelta del valore ottimale di riferimento, qui denominata $u$, che deve essere sufficientmente grande da cosentire la selezione dei soli valori rappresentativi di fenomeni intensi (anche se non estremi), ma non troppo grande da ridurre eccessivamente la numerosità del campione di dati al dispora della soglie. Per risolvere questo problema si descriverà più avanti un criterio operativo specifico.
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Denominando intanto con $X$ la variabile per la quale si vuole determinare la probabilità di estremo e con $u$ la suddetta soglia di riferimento (si veda figura sottostante), si può dimostrare che la probabilità di superamento di un certo valore $x$ (detta anche funzione di sopravvivenza), condizionata alla sola popolazione dei valori al di sopra della soglia $u$, segue la **legge di Pareto generalizzata**:
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$$ \mathbb{P}[X \> x \mid X > u] = \left[ 1 + \frac{\xi (x - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi} $$
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Si noti come la distribuzione, dispenda, oltre che dalla soglia $u$, da ulteriori due parametri: il parametro di forma $\xi$ e il parametro di scala $\psi_u$; il secondo, come mostrato più avanti, mostra una forte dipendenza da $u$.
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Nota la forma della funzione di sopravvivenza, si può giungere alla determinazione del valore $X_T$ coriispondente ad un determinato tempo di ritorno $T$ (in anni), definendo innanzitutto la quantità $\zeta_u = \mathbb{P}[X > u]$, cioè la probabilità di superamento della soglia. Moltiplicandola per la probabilità condizionata di cui sopra, la **probabilità incondizionata** si può quindi scrivere come:
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$$ \mathbb{P}[X > x] = \mathbb{P}[X > u] \mathbb{P}[X > x \mid X > u] = \zeta_u \left[ 1 + \frac{\xi (x - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi} $$
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Da tale espressione si può innanzitutto ricavare la quantità $X_m$ che viene mediamanete superata ogni $m$ osservazioni, che soddisfa la seguente relazione:
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$$ \zeta_u \left[ 1 + \frac{\xi (X_m - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi} = \frac{1}{m} $$
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da cui:
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$$ X_m = u + \frac{\psi_u}{\xi} \left[ (m\zeta_u)^{\xi} - 1 \right] $$
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Il legame fra il numero $m$ di osservazioni che mediamente separa due superamenti successivi ed il tempo di ritorno $T$ è dato, in ottima approssimazione, dal numero medio $n_y$ di osservazioni in un anno:
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$$ m = n_y T $$
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Mettendo insieme le due ultime relazioni si può quindi ottenere la seguenete espressione per il valore $X_T$ della variabile $X$ con tempo di ritorno $T$:
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$$ X_T = u + \frac{\psi_u}{\xi} \left[ (n_yT\zeta_u)^{\xi} - 1 \right] $$
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In tale espressione rimane però ancora da valutare la probabilità $\zeta_u = \mathbb{P}[X > u]$; questa è ancora ragionevolemente approssimabile, contando il numero totale $n_u$ di osservazioni al di sopra della soglia $u$ e il numero toale $M$ di anni di osservazione, tramite la relazione:
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$$ n_y \zeta_u = \frac{n_u}{M} $$
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che, sostituita nella precedente, fornisce la formula di stima per $X_T$:
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$$ X_T = u + \frac{\psi_u}{\xi} \left[ (\frac{n_uT}{M})^{\xi} - 1 \right] $$
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## A.1.2 Regime non stazionario
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### A.1.N Dai trend sui dati ai trend sui momenti
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Nell'ipotesi serie geenrata da un processo aleatorio ergodico (cioè di processo in cui, anche se non stazionario, le proprietà del processo sono stimabili da un singola realizzazione, cioè una singola serie temproale osservata) si può assumere che il *trend* del valore atteso della variabile sia approssimabile dal *trend* osservato in una singola realizzazione, cioè nella serie temporale osservata (Wang _et al._, 2015). Analogamente per i valori attesi di funzioni della variabile, quali ad esempio il quadrato o altre potenze.
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Sotto tale ipotesi, si assumono validi (sitimati come _trend_ nei valori osservati) i seguenti _trend_:
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$$ \mathbb{E}[X] = \mu = a_1+b_1 t $$
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$$ \mathbb{E} \left[ X^2 \right] = a_2+b_2 t $$
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allora:
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$$ \sigma = \left( \mathbb{E} \left[ X^2 \right] - \mathbb{E}[X] ^ 2 \right) ^ {1/2} = \left( a_2+b_2 t - a_1^2 - 2 a_1 b_1 t - b_1^2 t^2 \right) ^ {1/2}$$
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$$ \frac{d\sigma}{dt} = \frac{1}{2} \left( a_2+b_2 t - a_1^2 - 2 a_1 b_1 t - b_1^2 t^2 \right) ^ {-1/2} \left( b_2 - 2 a_1 b_1 -2 b_1^2 t \right) $$
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Usando quindi l'espansione in serie di Mac Laurin troncata al primo ordine, si ottiene il _trend_ lineare anche per la deviazione standard $\sigma$:
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$$ \frac{d\sigma}{dt} (t=0) = \frac{1}{2} \left( a_2 - a_1^2 \right) ^ {-1/2} \left( b_2 - 2 a_1 b_1 \right) $$
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$$ \sigma = \left( a_2 - a_1^2 \right) ^ {1/2} + \frac{1}{2} \left( a_2 - a_1^2 \right) ^ {-1/2} \left( b_2 - 2 a_1 b_1 \right) t $$
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N.B.: Nelle suddette espressioni, le costanti $a_1$ e $a_2$ delle funzioni lineari di trend sono stimati assumento il valore $t=0$ per l'anno a partire dal quale si intende applicare operativamente la proiezione di crescita del dato di progetto, ad esempio l'anno di entrata in funzione dell'opera.
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