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## A.2 Regime non stazionario]
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### A.2.1 Analisi di probabilità degli eventi estremi in regime non stazionario
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In termini generali, l’obiettivo dell’analisi qui descritta è quella di fornire uno strumento utilizzabile con i dati idrologici comunemente disponibili per il calcolo delle probabilità $p_1\left(Q_P\right)\ ...\ \ p_N\left(Q_P\right)$ anche nel caso generale in cui queste non siano fra loro tutte uguali e, in più, quando queste si riferiscono ad un periodo futuro (proiezione). Le principali ipotesi di lavoro comunemente adottate sono:
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- a) la sequenza $p_1\left(Q_P\right)\ ...\ \ p_N\left(Q_P\right)$ è ben approssimabile da una funzione di *trend* di tipo algebrico;
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- b) i parametri della funzione di *trend* da utilizzare per la proiezione delle suddette probabilità sono coincidenti con quelli stimabili dal trend eventualmente osservabile nelle analoghe probabilità relative al recente passato.
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Per l’implementazione pratica della prima ipotesi di lavoro, esistono sostanzialmente tre possibilità:
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- a.1) La funzione di *trend* rappresenta direttamente l’andamento futuro delle probabilità $p_i\left(Q_P\right)$; considerando come caso di interesse quello in cui tali probabilità (di superamento della quantità $Q_P$) sono attese aumentare nel tempo, e imponendo il vincolo che tali probabilità non potranno mai comunque eccedere l’unità, un conveniente modello di *trend* mono-parametrico crescente è il seguente:
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$$ p_i\left(Q_P\right)=1-\left[1-p_0\left(Q_P\right)\right]e^{-ki}$$
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- a.2) Più funzioni di $trend$ rappresentano l’andamento futuro dei momenti statistici (media, varianza, asimmetria, …) o degli L-momenti (Hosking, 1990) che caratterizzano la variabile aleatoria $Q_P$; in questo caso non esistno limiti superiori o inferiori di carattere generale, e seguendo il generale principio che il numero di dati necessari per stimare in maniera affidabile i parametri di un modello cresce proporzionalmente al numero di parametri da stimare, i modelli di *trend* più counmente adottati sono di tipo lineare:
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$$ M_{j,i}\left(Q_P\right)=M_{j,0} + ki$$
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dove $M_{j,i}$ è il generico momento (o L-momento) di ordine $j$;
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- a.3) Tutte le probabilità $p_i\left(Q_P\right)$ sono comunque rappresentabili da uno stesso tipo di distribuzione di probabilità (e.g. Gumbel, GEV, Pareto, ...), i cui parametri variano nel tempo secondo determinabili funzioni di $trend$ (ancora, solitamente assunte essere di tipo lineare):
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$$ \theta_{j,i}\left(Q_P\right)=\theta_{j,0} + ki$$
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dove $\theta_{j,i}$ è il generico parametro che caratterizza la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Q_P$.
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Si noti poi che, nel caso in cui i parametri $\theta_{j,i}$ siano stimati con il cosiddetto 'metodo dee momenti', i modelli a.2) e a.3) sono sostanzialmente analoghi.
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### A.2.2 Dai trend sui dati ai trend sui momenti
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Nell'ipotesi serie geenrata da un processo aleatorio ergodico (cioè di processo in cui, anche se non stazionario, le proprietà del processo sono stimabili da un singola realizzazione, cioè una singola serie temproale osservata) si può assumere che il *trend* del valore atteso della variabile sia approssimabile dal *trend* osservato in una singola realizzazione, cioè nella serie temporale osservata (Wang _et al._, 2015). Analogamente per i valori attesi di funzioni della variabile, quali ad esempio il quadrato o altre potenze.
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Sotto tale ipotesi, si assumono validi (sitimati come _trend_ nei valori osservati) i seguenti _trend_:
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$$ \\mathbb{E}[X] = \mu = a_1+b_1 t $$
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$$ \\mathbb{E} \left[ X^2 \right] = a_2+b_2 t $$
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allora:
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$$ \sigma = \left( \\mathbb{E} \left[ X^2 \right] - \\mathbb{E}[X] ^ 2 \right) ^ {1/2} = \left( a_2+b_2 t - a_1^2 - 2 a_1 b_1 t - b_1^2 t^2 \right) ^ {1/2}$$
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$$ \frac{d\sigma}{dt} = \frac{1}{2} \left( a_2+b_2 t - a_1^2 - 2 a_1 b_1 t - b_1^2 t^2 \right) ^ {-1/2} \left( b_2 - 2 a_1 b_1 -2 b_1^2 t \right) $$
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Usando quindi l'espansione in serie di Mac Laurin troncata al primo ordine, si ottiene il _trend_ lineare anche per la deviazione standard $\sigma$:
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$$ \frac{d\sigma}{dt} (t=0) = \frac{1}{2} \left( a_2 - a_1^2 \right) ^ {-1/2} \left( b_2 - 2 a_1 b_1 \right) $$
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$$ \sigma = \left( a_2 - a_1^2 \right) ^ {1/2} + \frac{1}{2} \left( a_2 - a_1^2 \right) ^ {-1/2} \left( b_2 - 2 a_1 b_1 \right) t $$
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N.B.: Nelle suddette espressioni, le costanti $a_1$ e $a_2$ delle funzioni lineari di trend sono stimati assumento il valore $t=0$ per l'anno a partire dal quale si intende applicare operativamente la proiezione di crescita del dato di progetto, ad esempio l'anno di entrata in funzione dell'opera.
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