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Appendice |
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Nel caso di regime stazionario, si richiamano brevemente gli elementi principali della teoria degli estremi che prevede, come maggiormente applicati e consolidati, due metodi principali in funzione del tipo di serie temporali a disposizione:
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1. **Block Maxima (BM)** - E' il metodo più tradizionalmente utilizzato, basato sulla sola disponibilità di serie di massimi su prefissata finestra temporale (tipicamente annuale).
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2. **Peak Over Threshold (POT)** Tale metodo, di sviluppo più recente, si basa sulla disponibilità di serie temporali complete, cioè non limitata ai soli massimi annuali.
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Il metodo BM è di più facile applicazione, ma utilizzando una quantità di informazione (1 solo dato per anno di osservazione) le incertezze di stima crescono rapidamente quando il tempo di ritorno per il quale si vuole stimare la forzante diventa molto più grande del numero di anni di osservazione. Questa limitazione può diventare problematica, ad esempio, nelle analisi di regime non stazionario (si vede capitolo successivo).
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Il metodo POT è più complesso da utilizzare, soprattutto per quanto riguarda le stime dei parametri delle distribuzioni di probabilità. Ha però l'indubbio vantaggio, rispetto al metodo BM, di utilizzare una quantità di dati molto maggiore a parità di anni di osservazione, e quindi di consentire stime con minore incertezza anche per elevati tempi di ritorno.
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### A.1.1 Block Maxima
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*Niente di nuovo rispetto all'usuale analisi dei massimi annuali, che fornice, come forma generale di distribuzione di probabilità da adottare, la GEV (Generalized Extreme Value) a tre parametri:*
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$$\\mathbb{P} \left[ X \le x \right] = G \left( x \right) = \exp\left\{ -\left[ 1 + \xi \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right) \right]^{-1/\xi} \right\}$$
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dove $X$ è l'altezza di pioggia per la data durata, $\mu$ è il parametro di posizione, $\sigma$ è il parametro di scala e $\xi$ è il parametro di forma ($\xi \ge 0$ per l'analisi di valori massimi, con il caso particolare $\xi=0$ che fornisce la nota distribuzione di Gumbel).
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### A.1.2 Peak Over Threshold
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Il metodo POT (Peak Over Threshold), coem suggerisce il nome, si bassa sulla analisi statistica non solo dei massimi annuali, ma di **tutti i valori registrati al di spora di una soglia prefissata**. Prerequisito per l'applicazione di tale metodo è la disponibilità di tutti i valori registrati (almeno a passo giornaliero, se no orario o sub-orario) per un certo numero di anni, fra i quali verranno selezionati tutti quelli al di spora della suddetta soglia. Tali prerequisito è ormai non più proibitivo, data la ormai pluridecennale registrazione in formato digitale di tutti i dati registrati dalla nuova rete di stazioni automatiche di monitoraggio idro-meteorologico della Regione Toscana, dati resi disponibili dal Servizio idrologico Regionale.
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La parte metodologica più complessa riguarda proprio la scelta del valore ottimale di riferimento, qui denominata $u$, che deve essere sufficientemente grande da consentire la selezione dei soli valori rappresentativi di fenomeni intensi (anche se non estremi), ma non troppo grande da ridurre eccessivamente la numerosità del campione di dati al disopra della soglie. Per risolvere questo problema si descriverà più avanti un criterio operativo specifico.
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Denominando intanto con $X$ la variabile per la quale si vuole determinare la probabilità di estremo e con $u$ la suddetta soglia di riferimento (si veda figura sottostante), si può dimostrare che la probabilità di superamento di un certo valore $x$ (detta anche funzione di sopravvivenza), condizionata alla sola popolazione dei valori al di sopra della soglia $u$, segue la **legge di Pareto generalizzata**:
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$$ \\mathbb{P} \left[X \gt x \mid X \gt u \right] = \left[ 1 + \frac{\xi (x - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi}$$
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Si noti come la distribuzione, dispenda, oltre che dalla soglia $u$, da ulteriori due parametri: il parametro di forma $\xi$ e il parametro di scala $\psi_u$; il secondo, come mostrato più avanti, mostra una forte dipendenza da $u$.
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Nota la forma della funzione di sopravvivenza, si può giungere alla determinazione del valore $X_T$ coriispondente ad un determinato tempo di ritorno $T$ (in anni), definendo innanzitutto la quantità $\zeta_u = \\mathbb{P}[X \gt u]$, cioè la probabilità di superamento della soglia. Moltiplicandola per la probabilità condizionata di cui sopra, la **probabilità incondizionata** si può quindi scrivere come:
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$$ \\mathbb{P}[X \gt x] = \\mathbb{P}[X \gt u] \\mathbb{P}[X \gt x \mid X \gt u] = \zeta_u \left[ 1 + \frac{\xi (x - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi} $$
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Da tale espressione si può innanzitutto ricavare la quantità $X_m$ che viene mediamanete superata ogni $m$ osservazioni, che soddisfa la seguente relazione:
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$$ \zeta_u \left[ 1 + \frac{\xi (X_m - u)}{\psi_u} \right]^{-1/\xi} = \frac{1}{m} $$
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da cui:
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$$ X_m = u + \frac{\psi_u}{\xi} \left[ (m\zeta_u)^{\xi} - 1 \right] $$
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Il legame fra il numero $m$ di osservazioni che mediamente separa due superamenti successivi ed il tempo di ritorno $T$ è dato, in ottima approssimazione, dal numero medio $n_y$ di osservazioni in un anno:
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$$ m = n_y T $$
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Mettendo insieme le due ultime relazioni si può quindi ottenere la seguenete espressione per il valore $X_T$ della variabile $X$ con tempo di ritorno $T$:
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$$ X_T = u + \frac{\psi_u}{\xi} \left[ (n_yT\zeta_u)^{\xi} - 1 \right] $$
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In tale espressione rimane però ancora da valutare la probabilità $\zeta_u = \\mathbb{P}[X \gt u]$; questa è ancora ragionevolemente approssimabile, contando il numero totale $n_u$ di osservazioni al di sopra della soglia $u$ e il numero toale $M$ di anni di osservazione, tramite la relazione:
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$$ n_y \zeta_u = \frac{n_u}{M} $$
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che, sostituita nella precedente, fornisce la formula di stima per $X_T$:
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$$ X_T = u + \frac{\psi_u}{\xi} \left[ (\frac{n_uT}{M})^{\xi} - 1 \right] $$ |
